Integral de sin4xcos5x dx

Solución

Ha introducido [src]

  1                     
  /                     
 |                      
 |  sin(4*x)*cos(5*x) dx
 |                      
/                       
0

$$\int\limits_{0}^{1} \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Integral(sin(4*x)*cos(5*x), (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = - 128 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} + 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} - 40 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} + 64 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} - 80 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} + 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
Integramos término a término:
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- 128 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 128 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$
  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
    Método #1
    1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \left(u^{8} - u^{6}\right)\, du$
      
      Integramos término a término:
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      El resultado es: $\frac{u^{9}}{9} - \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Método #2
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      El resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    Método #3
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin{\left(x \right)} \cos^{8}{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{8}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{8}\, du = - \int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{9}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9}$
      
      que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{6}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      El resultado es: $\frac{\cos^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + \frac{128 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 160 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx = 160 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}$
  2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \left(u^{6} - u^{4}\right)\, du$
    1. Integramos término a término:
      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \left(- u^{4}\right)\, du = - \int u^{4}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
      El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{160 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7} - 32 \cos^{5}{\left(x \right)}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- 40 \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 40 \int \sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\sin^{3}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} = \left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$
  2. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \left(u^{4} - u^{2}\right)\, du$
    1. Integramos término a término:
      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{3}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $\frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- 8 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{40 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 64 \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx = 64 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{6}{\left(x \right)}\, dx$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{6}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{6}\, du = - \int u^{6}\, du$
      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{7}}{7}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{64 \cos^{7}{\left(x \right)}}{7}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- 80 \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 80 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{4}{\left(x \right)}\, dx$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{4}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{4}\, du = - \int u^{4}\, du$
      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{5}}{5}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{5}{\left(x \right)}}{5}$
  Por lo tanto, el resultado es: $16 \cos^{5}{\left(x \right)}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 20 \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx = 20 \int \sin{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx$
  1. que $u = \cos{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \sin{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{2}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du$
      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
El resultado es: $- \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - 24 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$
Ahora simplificar:

$\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 \left(- 32 \cos^{6}{\left(x \right)} + 72 \cos^{4}{\left(x \right)} - 54 \cos^{2}{\left(x \right)} + 15\right) \cos^{3}{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                            9            3   
 |                                  5            7      128*cos (x)   20*cos (x)
 | sin(4*x)*cos(5*x) dx = C - 24*cos (x) + 32*cos (x) - ----------- + ----------
 |                                                           9            3     
/

$$\int \sin{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = C - \frac{128 \cos^{9}{\left(x \right)}}{9} + 32 \cos^{7}{\left(x \right)} - 24 \cos^{5}{\left(x \right)} + \frac{20 \cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

  4   4*cos(4)*cos(5)   5*sin(4)*sin(5)
- - + --------------- + ---------------
  9          9                 9

$$- \frac{4}{9} + \frac{4 \cos{\left(4 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(4 \right)} \sin{\left(5 \right)}}{9}$$

  4   4*cos(4)*cos(5)   5*sin(4)*sin(5)
- - + --------------- + ---------------
  9          9                 9

$$- \frac{4}{9} + \frac{4 \cos{\left(4 \right)} \cos{\left(5 \right)}}{9} + \frac{5 \sin{\left(4 \right)} \sin{\left(5 \right)}}{9}$$

-4/9 + 4*cos(4)*cos(5)/9 + 5*sin(4)*sin(5)/9

Respuesta numérica [src]

-0.123674943627893

-0.123674943627893

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de sin4xcos5x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3