Integral de (5x+3)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x + 3$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{3}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{20}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(5 x + 3\right)^{4}}{20}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x + 3\right)^{3} = 125 x^{3} + 225 x^{2} + 135 x + 27$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 125 x^{3}\, dx = 125 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{125 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 225 x^{2}\, dx = 225 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $75 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 135 x\, dx = 135 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{135 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 27\, dx = 27 x$

      El resultado es: $\frac{125 x^{4}}{4} + 75 x^{3} + \frac{135 x^{2}}{2} + 27 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 x + 3\right)^{4}}{20}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 x + 3\right)^{4}}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 x + 3\right)^{4}}{20}+ \mathrm{constant}$