Integral de 5^x*(1+5^(-x)/x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{5^{- u} \left(5^{u} - u^{3}\right)}{u^{3}}\, du$

      1. que $u = - u$.

         Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{5^{u} u^{3} + 1}{u^{3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{5^{u} u^{3} + 1}{u^{3}} = 5^{u} + \frac{1}{u^{3}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

               $\int 5^{u}\, du = \frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            El resultado es: $\frac{5^{u}}{\log{\left(5 \right)}} - \frac{1}{2 u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{2 u^{2}} + \frac{5^{- u}}{\log{\left(5 \right)}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{x} \left(1 + \frac{5^{- x}}{x^{3}}\right) = \frac{5^{x} x^{3} + 1}{x^{3}}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{5^{x} x^{3} + 1}{x^{3}} = 5^{x} + \frac{1}{x^{3}}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 5^{x}\, dx = \frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} - \frac{1}{2 x^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $5^{x} \left(1 + \frac{5^{- x}}{x^{3}}\right) = 5^{x} + \frac{1}{x^{3}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de la función exponencial es igual a la mesma, dividida por la base de logaritmo natural.

         $\int 5^{x}\, dx = \frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{3}}\, dx = - \frac{1}{2 x^{2}}$

      El resultado es: $\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} - \frac{1}{2 x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{5^{x}}{\log{\left(5 \right)}} - \frac{1}{2 x^{2}}+ \mathrm{constant}$