Integral de 8x^2/(x^3+2)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{8 x^{2}}{\left(x^{3} + 2\right)^{3}} = \frac{8 x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{8 x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}\, dx = 8 \int \frac{x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}\, dx$

      1. que $u = x^{3}$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{3 u^{3} + 18 u^{2} + 36 u + 24}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{3 u^{3} + 18 u^{2} + 36 u + 24} = \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{3}}\, du}{3}$

            1. que $u = u + 2$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{6 \left(u + 2\right)^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{6 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{8 x^{2}}{\left(x^{3} + 2\right)^{3}} = \frac{8 x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{8 x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}\, dx = 8 \int \frac{x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}\, dx$

      1. que $u = x^{3}$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{1}{3 u^{3} + 18 u^{2} + 36 u + 24}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{3 u^{3} + 18 u^{2} + 36 u + 24} = \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{3}}\, du}{3}$

            1. que $u = u + 2$.

               Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{6 \left(u + 2\right)^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{1}{6 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$