Sr Examen

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Integral de 8x^2/(x^3+2)^3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1             
  /             
 |              
 |        2     
 |     8*x      
 |  --------- dx
 |          3   
 |  / 3    \    
 |  \x  + 2/    
 |              
/               
0               
018x2(x3+2)3dx\int\limits_{0}^{1} \frac{8 x^{2}}{\left(x^{3} + 2\right)^{3}}\, dx
Integral((8*x^2)/(x^3 + 2)^3, (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      8x2(x3+2)3=8x2x9+6x6+12x3+8\frac{8 x^{2}}{\left(x^{3} + 2\right)^{3}} = \frac{8 x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      8x2x9+6x6+12x3+8dx=8x2x9+6x6+12x3+8dx\int \frac{8 x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}\, dx = 8 \int \frac{x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}\, dx

      1. que u=x3u = x^{3}.

        Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

        13u3+18u2+36u+24du\int \frac{1}{3 u^{3} + 18 u^{2} + 36 u + 24}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          13u3+18u2+36u+24=13(u+2)3\frac{1}{3 u^{3} + 18 u^{2} + 36 u + 24} = \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          13(u+2)3du=1(u+2)3du3\int \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{3}}\, du}{3}

          1. que u=u+2u = u + 2.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            1u3du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1u3du=12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Si ahora sustituir uu más en:

            12(u+2)2- \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 16(u+2)2- \frac{1}{6 \left(u + 2\right)^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        16(x3+2)2- \frac{1}{6 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 43(x3+2)2- \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      8x2(x3+2)3=8x2x9+6x6+12x3+8\frac{8 x^{2}}{\left(x^{3} + 2\right)^{3}} = \frac{8 x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      8x2x9+6x6+12x3+8dx=8x2x9+6x6+12x3+8dx\int \frac{8 x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}\, dx = 8 \int \frac{x^{2}}{x^{9} + 6 x^{6} + 12 x^{3} + 8}\, dx

      1. que u=x3u = x^{3}.

        Luego que du=3x2dxdu = 3 x^{2} dx y ponemos dudu:

        13u3+18u2+36u+24du\int \frac{1}{3 u^{3} + 18 u^{2} + 36 u + 24}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          13u3+18u2+36u+24=13(u+2)3\frac{1}{3 u^{3} + 18 u^{2} + 36 u + 24} = \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          13(u+2)3du=1(u+2)3du3\int \frac{1}{3 \left(u + 2\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 2\right)^{3}}\, du}{3}

          1. que u=u+2u = u + 2.

            Luego que du=dudu = du y ponemos dudu:

            1u3du\int \frac{1}{u^{3}}\, du

            1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

              1u3du=12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

            Si ahora sustituir uu más en:

            12(u+2)2- \frac{1}{2 \left(u + 2\right)^{2}}

          Por lo tanto, el resultado es: 16(u+2)2- \frac{1}{6 \left(u + 2\right)^{2}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        16(x3+2)2- \frac{1}{6 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}

      Por lo tanto, el resultado es: 43(x3+2)2- \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    43(x3+2)2+constant- \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

43(x3+2)2+constant- \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                              
 |                               
 |       2                       
 |    8*x                  4     
 | --------- dx = C - -----------
 |         3                    2
 | / 3    \             /     3\ 
 | \x  + 2/           3*\2 + x / 
 |                               
/                                
8x2(x3+2)3dx=C43(x3+2)2\int \frac{8 x^{2}}{\left(x^{3} + 2\right)^{3}}\, dx = C - \frac{4}{3 \left(x^{3} + 2\right)^{2}}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Respuesta [src]
5/27
527\frac{5}{27}
=
=
5/27
527\frac{5}{27}
5/27
Respuesta numérica [src]
0.185185185185185
0.185185185185185

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.