Integral de (2x+3)×(x^2+3x+5)^7 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \left(x^{2} + 3 x\right) + 5$.

      Luego que $du = \left(2 x + 3\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int u^{7}\, du$

      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 5\right)^{8}}{8}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 3\right) \left(\left(x^{2} + 3 x\right) + 5\right)^{7} = 2 x^{15} + 45 x^{14} + 511 x^{13} + 3822 x^{12} + 20895 x^{11} + 88011 x^{10} + 294140 x^{9} + 792693 x^{8} + 1734931 x^{7} + 3082695 x^{6} + 4412100 x^{5} + 5000625 x^{4} + 4353125 x^{3} + 2756250 x^{2} + 1140625 x + 234375$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x^{15}\, dx = 2 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{16}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 45 x^{14}\, dx = 45 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 511 x^{13}\, dx = 511 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{73 x^{14}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3822 x^{12}\, dx = 3822 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $294 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 20895 x^{11}\, dx = 20895 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6965 x^{12}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 88011 x^{10}\, dx = 88011 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8001 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 294140 x^{9}\, dx = 294140 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $29414 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 792693 x^{8}\, dx = 792693 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $88077 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1734931 x^{7}\, dx = 1734931 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1734931 x^{8}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3082695 x^{6}\, dx = 3082695 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $440385 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4412100 x^{5}\, dx = 4412100 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $735350 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5000625 x^{4}\, dx = 5000625 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1000125 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4353125 x^{3}\, dx = 4353125 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4353125 x^{4}}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2756250 x^{2}\, dx = 2756250 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $918750 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1140625 x\, dx = 1140625 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1140625 x^{2}}{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 234375\, dx = 234375 x$

      El resultado es: $\frac{x^{16}}{8} + 3 x^{15} + \frac{73 x^{14}}{2} + 294 x^{13} + \frac{6965 x^{12}}{4} + 8001 x^{11} + 29414 x^{10} + 88077 x^{9} + \frac{1734931 x^{8}}{8} + 440385 x^{7} + 735350 x^{6} + 1000125 x^{5} + \frac{4353125 x^{4}}{4} + 918750 x^{3} + \frac{1140625 x^{2}}{2} + 234375 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x^{2} + 3 x + 5\right)^{8}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x^{2} + 3 x + 5\right)^{8}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x^{2} + 3 x + 5\right)^{8}}{8}+ \mathrm{constant}$