Sr Examen

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Integral de (1-e^(-2x))/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 1/10            
   /             
  |              
  |       -2*x   
  |  1 - E       
  |  --------- dx
  |      x       
  |              
 /               
 0               
01101e2xxdx\int\limits_{0}^{\frac{1}{10}} \frac{1 - e^{- 2 x}}{x}\, dx
Integral((1 - E^(-2*x))/x, (x, 0, 1/10))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=2xu = - 2 x.

      Luego que du=2dxdu = - 2 dx y ponemos du- du:

      (eu1u)du\int \left(- \frac{e^{u} - 1}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        eu1udu=eu1udu\int \frac{e^{u} - 1}{u}\, du = - \int \frac{e^{u} - 1}{u}\, du

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos du- du:

          (e1u1u)du\int \left(- \frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e1u1udu=e1u1udu\int \frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{u}\, du = - \int \frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{u}\, du

            1. Vuelva a escribir el integrando:

              e1u1u=e1uu1u\frac{e^{\frac{1}{u}} - 1}{u} = \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u} - \frac{1}{u}

            2. Integramos término a término:

              1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

                Luego que du=duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos du- du:

                (euu)du\int \left(- \frac{e^{u}}{u}\right)\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  euudu=euudu\int \frac{e^{u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{u}}{u}\, du

                    EiRule(a=1, b=0, context=exp(_u)/_u, symbol=_u)

                  Por lo tanto, el resultado es: Ei(u)- \operatorname{Ei}{\left(u \right)}

                Si ahora sustituir uu más en:

                Ei(1u)- \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                (1u)du=1udu\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du

                1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

                Por lo tanto, el resultado es: log(u)- \log{\left(u \right)}

              El resultado es: log(u)Ei(1u)- \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: log(u)+Ei(1u)\log{\left(u \right)} + \operatorname{Ei}{\left(\frac{1}{u} \right)}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log(u)+Ei(u)- \log{\left(u \right)} + \operatorname{Ei}{\left(u \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(u)Ei(u)\log{\left(u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(u \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(2x)Ei(2x)\log{\left(- 2 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1e2xx=(e2x1)e2xx\frac{1 - e^{- 2 x}}{x} = \frac{\left(e^{2 x} - 1\right) e^{- 2 x}}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos du- du:

      ((e2u1)e2uu)du\int \left(- \frac{\left(e^{\frac{2}{u}} - 1\right) e^{- \frac{2}{u}}}{u}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (e2u1)e2uudu=(e2u1)e2uudu\int \frac{\left(e^{\frac{2}{u}} - 1\right) e^{- \frac{2}{u}}}{u}\, du = - \int \frac{\left(e^{\frac{2}{u}} - 1\right) e^{- \frac{2}{u}}}{u}\, du

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          (e2u1)e2uu=1ue2uu\frac{\left(e^{\frac{2}{u}} - 1\right) e^{- \frac{2}{u}}}{u} = \frac{1}{u} - \frac{e^{- \frac{2}{u}}}{u}

        2. Integramos término a término:

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log(u)\log{\left(u \right)}.

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            (e2uu)du=e2uudu\int \left(- \frac{e^{- \frac{2}{u}}}{u}\right)\, du = - \int \frac{e^{- \frac{2}{u}}}{u}\, du

            1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

              Luego que du=duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos du- du:

              (e2uu)du\int \left(- \frac{e^{- 2 u}}{u}\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                e2uudu=e2uudu\int \frac{e^{- 2 u}}{u}\, du = - \int \frac{e^{- 2 u}}{u}\, du

                  EiRule(a=-2, b=0, context=exp(-2*_u)/_u, symbol=_u)

                Por lo tanto, el resultado es: Ei(2u)- \operatorname{Ei}{\left(- 2 u \right)}

              Si ahora sustituir uu más en:

              Ei(2u)- \operatorname{Ei}{\left(- \frac{2}{u} \right)}

            Por lo tanto, el resultado es: Ei(2u)\operatorname{Ei}{\left(- \frac{2}{u} \right)}

          El resultado es: log(u)+Ei(2u)\log{\left(u \right)} + \operatorname{Ei}{\left(- \frac{2}{u} \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: log(u)Ei(2u)- \log{\left(u \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- \frac{2}{u} \right)}

      Si ahora sustituir uu más en:

      log(x)Ei(2x)\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      1e2xx=1xe2xx\frac{1 - e^{- 2 x}}{x} = \frac{1}{x} - \frac{e^{- 2 x}}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral 1x\frac{1}{x} es log(x)\log{\left(x \right)}.

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        (e2xx)dx=e2xxdx\int \left(- \frac{e^{- 2 x}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{e^{- 2 x}}{x}\, dx

          EiRule(a=-2, b=0, context=exp(-2*x)/x, symbol=x)

        Por lo tanto, el resultado es: Ei(2x)- \operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}

      El resultado es: log(x)Ei(2x)\log{\left(x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    log(2x)Ei(2x)+constant\log{\left(- 2 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

log(2x)Ei(2x)+constant\log{\left(- 2 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                       
 |                                        
 |      -2*x                              
 | 1 - E                                  
 | --------- dx = C - Ei(-2*x) + log(-2*x)
 |     x                                  
 |                                        
/                                         
1e2xxdx=C+log(2x)Ei(2x)\int \frac{1 - e^{- 2 x}}{x}\, dx = C + \log{\left(- 2 x \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- 2 x \right)}
Gráfica
0.0000.1000.0100.0200.0300.0400.0500.0600.0700.0800.0905-5
Respuesta [src]
-Ei(-1/5) - log(10) + EulerGamma + log(2)
log(10)+γ+log(2)Ei(15)- \log{\left(10 \right)} + \gamma + \log{\left(2 \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{5} \right)}
=
=
-Ei(-1/5) - log(10) + EulerGamma + log(2)
log(10)+γ+log(2)Ei(15)- \log{\left(10 \right)} + \gamma + \log{\left(2 \right)} - \operatorname{Ei}{\left(- \frac{1}{5} \right)}
-Ei(-1/5) - log(10) + EulerGamma + log(2)
Respuesta numérica [src]
0.190428296651326
0.190428296651326

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.