Integral de 5x^3√(9-4x^2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(640 t u^{5} - 5760 t u^{4} + 19440 t u^{3} - 29160 t u^{2} + \frac{32805 t u}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 640 u^{5} t\, du = 640 t \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{320 u^{6} t}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 5760 u^{4} t\right)\, du = - 5760 t \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 1152 u^{5} t$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 19440 u^{3} t\, du = 19440 t \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $4860 u^{4} t$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 29160 u^{2} t\right)\, du = - 29160 t \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- 9720 u^{3} t$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{32805 u t}{2}\, du = \frac{32805 t \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32805 u^{2} t}{4}$

         El resultado es: $\frac{320 u^{6} t}{3} - 1152 u^{5} t + 4860 u^{4} t - 9720 u^{3} t + \frac{32805 u^{2} t}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{320 t x^{12}}{3} - 1152 t x^{10} + 4860 t x^{8} - 9720 t x^{6} + \frac{32805 t x^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $t 5 x^{3} \left(9 - 4 x^{2}\right)^{4} = 1280 t x^{11} - 11520 t x^{9} + 38880 t x^{7} - 58320 t x^{5} + 32805 t x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1280 t x^{11}\, dx = 1280 t \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{320 t x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 11520 t x^{9}\right)\, dx = - 11520 t \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 1152 t x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 38880 t x^{7}\, dx = 38880 t \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4860 t x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 58320 t x^{5}\right)\, dx = - 58320 t \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 9720 t x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 32805 t x^{3}\, dx = 32805 t \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{32805 t x^{4}}{4}$

      El resultado es: $\frac{320 t x^{12}}{3} - 1152 t x^{10} + 4860 t x^{8} - 9720 t x^{6} + \frac{32805 t x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{t x^{4} \left(1280 x^{8} - 13824 x^{6} + 58320 x^{4} - 116640 x^{2} + 98415\right)}{12}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{t x^{4} \left(1280 x^{8} - 13824 x^{6} + 58320 x^{4} - 116640 x^{2} + 98415\right)}{12}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{t x^{4} \left(1280 x^{8} - 13824 x^{6} + 58320 x^{4} - 116640 x^{2} + 98415\right)}{12}+ \mathrm{constant}$