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Resolución de integrales/ 2-x^2/ x^2/(a^2-x^2)

Integral de x^2/(a^2-x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |      2     
 |     x      
 |  ------- dx
 |   2    2   
 |  a  - x    
 |            
/             
0
∫01x2a2−x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{2}}{a^{2} - x^{2}}\, dx 
Integral(x^2/(a^2 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2a2−x2=a2(a+x)−a2(−a+x)−1\frac{x^{2}}{a^{2} - x^{2}} = \frac{a}{2 \left(a + x\right)} - \frac{a}{2 \left(- a + x\right)} - 1

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫a2(a+x) dx=a∫1a+x dx2\int \frac{a}{2 \left(a + x\right)}\, dx = \frac{a \int \frac{1}{a + x}\, dx}{2}

        1. que u=a+xu = a + x.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(a+x)\log{\left(a + x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: alog⁡(a+x)2\frac{a \log{\left(a + x \right)}}{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−a2(−a+x)) dx=−a∫1−a+x dx2\int \left(- \frac{a}{2 \left(- a + x\right)}\right)\, dx = - \frac{a \int \frac{1}{- a + x}\, dx}{2}

        1. que u=−a+xu = - a + x.

          Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

          ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

          1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(−a+x)\log{\left(- a + x \right)}

        Por lo tanto, el resultado es: −alog⁡(−a+x)2- \frac{a \log{\left(- a + x \right)}}{2}

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

        ∫(−1) dx=−x\int \left(-1\right)\, dx = - x

      El resultado es: −alog⁡(−a+x)2+alog⁡(a+x)2−x- \frac{a \log{\left(- a + x \right)}}{2} + \frac{a \log{\left(a + x \right)}}{2} - x

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2a2−x2=−x2−a2+x2\frac{x^{2}}{a^{2} - x^{2}} = - \frac{x^{2}}{- a^{2} + x^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x2−a2+x2) dx=−∫x2−a2+x2 dx\int \left(- \frac{x^{2}}{- a^{2} + x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{2}}{- a^{2} + x^{2}}\, dx

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x2−a2+x2=−a2(a+x)+a2(−a+x)+1\frac{x^{2}}{- a^{2} + x^{2}} = - \frac{a}{2 \left(a + x\right)} + \frac{a}{2 \left(- a + x\right)} + 1

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−a2(a+x)) dx=−a∫1a+x dx2\int \left(- \frac{a}{2 \left(a + x\right)}\right)\, dx = - \frac{a \int \frac{1}{a + x}\, dx}{2}

          1. que u=a+xu = a + x.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(a+x)\log{\left(a + x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: −alog⁡(a+x)2- \frac{a \log{\left(a + x \right)}}{2}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫a2(−a+x) dx=a∫1−a+x dx2\int \frac{a}{2 \left(- a + x\right)}\, dx = \frac{a \int \frac{1}{- a + x}\, dx}{2}

          1. que u=−a+xu = - a + x.

            Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

            ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(−a+x)\log{\left(- a + x \right)}

          Por lo tanto, el resultado es: alog⁡(−a+x)2\frac{a \log{\left(- a + x \right)}}{2}

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

        El resultado es: alog⁡(−a+x)2−alog⁡(a+x)2+x\frac{a \log{\left(- a + x \right)}}{2} - \frac{a \log{\left(a + x \right)}}{2} + x

      Por lo tanto, el resultado es: −alog⁡(−a+x)2+alog⁡(a+x)2−x- \frac{a \log{\left(- a + x \right)}}{2} + \frac{a \log{\left(a + x \right)}}{2} - x

  2. Añadimos la constante de integración:

    −alog⁡(−a+x)2+alog⁡(a+x)2−x+constant- \frac{a \log{\left(- a + x \right)}}{2} + \frac{a \log{\left(a + x \right)}}{2} - x+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−alog⁡(−a+x)2+alog⁡(a+x)2−x+constant- \frac{a \log{\left(- a + x \right)}}{2} + \frac{a \log{\left(a + x \right)}}{2} - x+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 |     2                                           
 |    x                 a*log(a + x)   a*log(x - a)
 | ------- dx = C - x + ------------ - ------------
 |  2    2                   2              2      
 | a  - x                                          
 |                                                 
/
∫x2a2−x2 dx=C−alog⁡(−a+x)2+alog⁡(a+x)2−x\int \frac{x^{2}}{a^{2} - x^{2}}\, dx = C - \frac{a \log{\left(- a + x \right)}}{2} + \frac{a \log{\left(a + x \right)}}{2} - x
Simplificar
Respuesta [src] 
       /log(-a)   log(a)\     /log(1 - a)   log(1 + a)\
-1 + a*|------- - ------| - a*|---------- - ----------|
       \   2        2   /     \    2            2     /
a(log⁡(−a)2−log⁡(a)2)−a(log⁡(1−a)2−log⁡(a+1)2)−1a \left(\frac{\log{\left(- a \right)}}{2} - \frac{\log{\left(a \right)}}{2}\right) - a \left(\frac{\log{\left(1 - a \right)}}{2} - \frac{\log{\left(a + 1 \right)}}{2}\right) - 1 
=
= 
       /log(-a)   log(a)\     /log(1 - a)   log(1 + a)\
-1 + a*|------- - ------| - a*|---------- - ----------|
       \   2        2   /     \    2            2     /
a(log⁡(−a)2−log⁡(a)2)−a(log⁡(1−a)2−log⁡(a+1)2)−1a \left(\frac{\log{\left(- a \right)}}{2} - \frac{\log{\left(a \right)}}{2}\right) - a \left(\frac{\log{\left(1 - a \right)}}{2} - \frac{\log{\left(a + 1 \right)}}{2}\right) - 1 
-1 + a*(log(-a)/2 - log(a)/2) - a*(log(1 - a)/2 - log(1 + a)/2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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