Integral de x(1+x)^5 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(x + 1\right)^{5} = x^{6} + 5 x^{5} + 10 x^{4} + 10 x^{3} + 5 x^{2} + x$

2. Integramos término a término:

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 x^{5}\, dx = 5 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{6}}{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10 x^{4}\, dx = 10 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 10 x^{3}\, dx = 10 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{4}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 5 x^{2}\, dx = 5 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{3}}{3}$

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{x^{7}}{7} + \frac{5 x^{6}}{6} + 2 x^{5} + \frac{5 x^{4}}{2} + \frac{5 x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(6 x^{5} + 35 x^{4} + 84 x^{3} + 105 x^{2} + 70 x + 21\right)}{42}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(6 x^{5} + 35 x^{4} + 84 x^{3} + 105 x^{2} + 70 x + 21\right)}{42}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(6 x^{5} + 35 x^{4} + 84 x^{3} + 105 x^{2} + 70 x + 21\right)}{42}+ \mathrm{constant}$