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Resolución de integrales/ ln(x/2)/ x^7×ln(x/2)

Integral de x^7×ln(x/2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1             
  /             
 |              
 |   7    /x\   
 |  x *log|-| dx
 |        \2/   
 |              
/               
0
∫01x7log⁡(x2) dx\int\limits_{0}^{1} x^{7} \log{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx 
Integral(x^7*log(x/2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x7log⁡(x2)=x7log⁡(x)−x7log⁡(2)x^{7} \log{\left(\frac{x}{2} \right)} = x^{7} \log{\left(x \right)} - x^{7} \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue8u du\int u e^{8 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e8u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{8 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=8uu = 8 u.

            Luego que du=8dudu = 8 du y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫eu8 du\int \frac{e^{u}}{8}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu8\frac{e^{u}}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e8u8\frac{e^{8 u}}{8}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e8u8 du=∫e8u du8\int \frac{e^{8 u}}{8}\, du = \frac{\int e^{8 u}\, du}{8}

          1. que u=8uu = 8 u.

            Luego que du=8dudu = 8 du y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫eu8 du\int \frac{e^{u}}{8}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu8\frac{e^{u}}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e8u8\frac{e^{8 u}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: e8u64\frac{e^{8 u}}{64}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x8log⁡(x)8−x864\frac{x^{8} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{x^{8}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x7log⁡(2)) dx=−log⁡(2)∫x7 dx\int \left(- x^{7} \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - \log{\left(2 \right)} \int x^{7}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −x8log⁡(2)8- \frac{x^{8} \log{\left(2 \right)}}{8}

      El resultado es: x8log⁡(x)8−x8log⁡(2)8−x864\frac{x^{8} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{x^{8} \log{\left(2 \right)}}{8} - \frac{x^{8}}{64}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x2)u{\left(x \right)} = \log{\left(\frac{x}{2} \right)} y que dv⁡(x)=x7\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{7}.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x78 dx=∫x7 dx8\int \frac{x^{7}}{8}\, dx = \frac{\int x^{7}\, dx}{8}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

      Por lo tanto, el resultado es: x864\frac{x^{8}}{64}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x7log⁡(x2)=x7log⁡(x)−x7log⁡(2)x^{7} \log{\left(\frac{x}{2} \right)} = x^{7} \log{\left(x \right)} - x^{7} \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

        Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

        ∫ue8u du\int u e^{8 u}\, du

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e8u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{8 u}.

          Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

          Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

          1. que u=8uu = 8 u.

            Luego que du=8dudu = 8 du y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫eu8 du\int \frac{e^{u}}{8}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu8\frac{e^{u}}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e8u8\frac{e^{8 u}}{8}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e8u8 du=∫e8u du8\int \frac{e^{8 u}}{8}\, du = \frac{\int e^{8 u}\, du}{8}

          1. que u=8uu = 8 u.

            Luego que du=8dudu = 8 du y ponemos du8\frac{du}{8}:

            ∫eu8 du\int \frac{e^{u}}{8}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu8\frac{e^{u}}{8}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e8u8\frac{e^{8 u}}{8}

          Por lo tanto, el resultado es: e8u64\frac{e^{8 u}}{64}

        Si ahora sustituir uu más en:

        x8log⁡(x)8−x864\frac{x^{8} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{x^{8}}{64}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x7log⁡(2)) dx=−log⁡(2)∫x7 dx\int \left(- x^{7} \log{\left(2 \right)}\right)\, dx = - \log{\left(2 \right)} \int x^{7}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x7 dx=x88\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: −x8log⁡(2)8- \frac{x^{8} \log{\left(2 \right)}}{8}

      El resultado es: x8log⁡(x)8−x8log⁡(2)8−x864\frac{x^{8} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{x^{8} \log{\left(2 \right)}}{8} - \frac{x^{8}}{64}

  2. Ahora simplificar:

    x8(8log⁡(x)−log⁡(256)−1)64\frac{x^{8} \left(8 \log{\left(x \right)} - \log{\left(256 \right)} - 1\right)}{64}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x8(8log⁡(x)−log⁡(256)−1)64+constant\frac{x^{8} \left(8 \log{\left(x \right)} - \log{\left(256 \right)} - 1\right)}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x8(8log⁡(x)−log⁡(256)−1)64+constant\frac{x^{8} \left(8 \log{\left(x \right)} - \log{\left(256 \right)} - 1\right)}{64}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                             
 |                     8    8           8       
 |  7    /x\          x    x *log(2)   x *log(x)
 | x *log|-| dx = C - -- - --------- + ---------
 |       \2/          64       8           8    
 |                                              
/
∫x7log⁡(x2) dx=C+x8log⁡(x)8−x8log⁡(2)8−x864\int x^{7} \log{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{x^{8} \log{\left(x \right)}}{8} - \frac{x^{8} \log{\left(2 \right)}}{8} - \frac{x^{8}}{64}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901.0-1.0
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  1    log(2)
- -- - ------
  64     8
−log⁡(2)8−164- \frac{\log{\left(2 \right)}}{8} - \frac{1}{64} 
=
= 
  1    log(2)
- -- - ------
  64     8
−log⁡(2)8−164- \frac{\log{\left(2 \right)}}{8} - \frac{1}{64} 
-1/64 - log(2)/8
Respuesta numérica [src] 
-0.102268397569993
-0.102268397569993

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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