Integral de 2x+1/+√(-2x+2) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $x^{2}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \sqrt{2 - 2 x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{\sqrt{2 - 2 x}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(-1\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \sqrt{2 - 2 x}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\sqrt{2 - 2 x}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 - x}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{1 - x}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \int \frac{1}{\sqrt{1 - x}}\, dx}{2}$

         1. que $u = 1 - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{1 - x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{2} \sqrt{1 - x}$

   El resultado es: $x^{2} - \sqrt{2 - 2 x}$

2. Ahora simplificar:

   $x^{2} - \sqrt{2 - 2 x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x^{2} - \sqrt{2 - 2 x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x^{2} - \sqrt{2 - 2 x}+ \mathrm{constant}$