Sr Examen
Integral de x/(2x^2-2sqrt(2)x+2) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | x | -------------------- dx | 2 ___ | 2*x - 2*\/ 2 *x + 2 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(2 x^{2} - 2 \sqrt{2} x\right) + 2}\, dx$$
Integral(x/(2*x^2 - 2*sqrt(2)*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | x | -------------------- dx | 2 ___ | 2*x - 2*\/ 2 *x + 2 | /
Reescribimos la función subintegral
// ___\\
/ ___ \ ||\/ 2 ||
| 2*2*x - 2*\/ 2 | ||-----||
|---------------------| |\ 2 /|
| 2 ___ | |-------|
x \2*x + -2*\/ 2 *x + 2/ \ 1 /
-------------------- = ----------------------- + -------------------
2 ___ 4 2
2*x - 2*\/ 2 *x + 2 / ___ \
\-\/ 2 *x + 1/ + 1o
/ | | x | -------------------- dx | 2 ___ = | 2*x - 2*\/ 2 *x + 2 | /
/ /
| |
| ___ ___ | 1
| 2*2*x - 2*\/ 2 \/ 2 * | ------------------- dx
| --------------------- dx | 2
| 2 ___ | / ___ \
| 2*x + -2*\/ 2 *x + 2 | \-\/ 2 *x + 1/ + 1
| |
/ /
--------------------------- + -------------------------------
4 2 En integral
/
|
| ___
| 2*2*x - 2*\/ 2
| --------------------- dx
| 2 ___
| 2*x + -2*\/ 2 *x + 2
|
/
---------------------------
4 hacemos el cambio
2 ___ u = 2*x - 2*x*\/ 2
entonces
integral =
/
|
| 1
| ----- du
| 2 + u
|
/ log(2 + u)
----------- = ----------
4 4 hacemos cambio inverso
/
|
| ___
| 2*2*x - 2*\/ 2
| --------------------- dx
| 2 ___
| 2*x + -2*\/ 2 *x + 2
| / 2 ___\
/ log\1 + x - x*\/ 2 /
--------------------------- = ---------------------
4 4 En integral
/
|
___ | 1
\/ 2 * | ------------------- dx
| 2
| / ___ \
| \-\/ 2 *x + 1/ + 1
|
/
-------------------------------
2 hacemos el cambio
___ v = 1 - x*\/ 2
entonces
integral =
/
|
___ | 1
\/ 2 * | ------ dv
| 2
| 1 + v
| ___
/ \/ 2 *atan(v)
------------------ = -------------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
___ | 1
\/ 2 * | ------------------- dx
| 2
| / ___ \
| \-\/ 2 *x + 1/ + 1
| / ___\
/ atan\-1 + x*\/ 2 /
------------------------------- = ------------------
2 2 La solución:
/ ___\ / 2 ___\
atan\-1 + x*\/ 2 / log\1 + x - x*\/ 2 /
C + ------------------ + ---------------------
2 4
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ / ___\\ / | ___ | \/ 2 || | atan|\/ 2 *|x - -----|| / 2 ___\ | x \ \ 2 // log\2 + 2*x - 2*x*\/ 2 / | -------------------- dx = C + ----------------------- + ------------------------- | 2 ___ 2 4 | 2*x - 2*\/ 2 *x + 2 | /
$$\int \frac{x}{\left(2 x^{2} - 2 \sqrt{2} x\right) + 2}\, dx = C + \frac{\log{\left(2 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 2 \right)}}{4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(\sqrt{2} \left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\
log\2 - \/ 2 / 3*pi
-------------- + ----
4 16
$$\frac{\log{\left(2 - \sqrt{2} \right)}}{4} + \frac{3 \pi}{16}$$
=
=
/ ___\
log\2 - \/ 2 / 3*pi
-------------- + ----
4 16
$$\frac{\log{\left(2 - \sqrt{2} \right)}}{4} + \frac{3 \pi}{16}$$
log(2 - sqrt(2))/4 + 3*pi/16
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.