Integral de 1/(sqrt(x+6)-1) dx

1. que $u = \sqrt{x + 6}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 6}}$ y ponemos $2 du$:

   $\int \frac{2 u}{u - 1}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{u}{u - 1}\, du = 2 \int \frac{u}{u - 1}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{u}{u - 1} = 1 + \frac{1}{u - 1}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         1. que $u = u - 1$.

            Luego que $du = du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(u - 1 \right)}$

         El resultado es: $u + \log{\left(u - 1 \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $2 u + 2 \log{\left(u - 1 \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $2 \sqrt{x + 6} + 2 \log{\left(\sqrt{x + 6} - 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $2 \sqrt{x + 6} + 2 \log{\left(\sqrt{x + 6} - 1 \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 \sqrt{x + 6} + 2 \log{\left(\sqrt{x + 6} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \sqrt{x + 6} + 2 \log{\left(\sqrt{x + 6} - 1 \right)}+ \mathrm{constant}$