Integral de x/(2*x+2)^(3/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(2 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{\sqrt{2} x}{4 x \sqrt{x + 1} + 4 \sqrt{x + 1}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sqrt{2} x}{4 x \sqrt{x + 1} + 4 \sqrt{x + 1}}\, dx = \sqrt{2} \int \frac{x}{4 x \sqrt{x + 1} + 4 \sqrt{x + 1}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt{x + 1}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 1}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{u^{2} - 1}{2 u^{2}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{u^{2} - 1}{u^{2}}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{u^{2} - 1}{u^{2}} = 1 - \frac{1}{u^{2}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

               El resultado es: $u + \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{1}{2 u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{2} \left(\frac{\sqrt{x + 1}}{2} + \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}\right)$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{\left(2 x + 2\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{x}{2 x \sqrt{2 x + 2} + 2 \sqrt{2 x + 2}}$

   2. que $u = \sqrt{2 x + 2}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{\sqrt{2 x + 2}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{\frac{u^{2}}{2} - 1}{u^{2}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{\frac{u^{2}}{2} - 1}{u^{2}} = \frac{1}{2} - \frac{1}{u^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{2}\, du = \frac{u}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{u^{2}}\right)\, du = - \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{u}$

         El resultado es: $\frac{u}{2} + \frac{1}{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\sqrt{2 x + 2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2 x + 2}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} \left(x + 2\right)}{2 \sqrt{x + 1}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \left(x + 2\right)}{2 \sqrt{x + 1}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(x + 2\right)}{2 \sqrt{x + 1}}+ \mathrm{constant}$