Integral de (exp^x)/(25-exp^(2*x))^(-1) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{x}$.

      Luego que $du = e^{x} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(25 - u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 25\, du = 25 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + 25 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{e^{3 x}}{3} + 25 e^{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{\frac{1}{25 - e^{2 x}}} = - e^{3 x} + 25 e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- e^{3 x}\right)\, dx = - \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{3 x}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 25 e^{x}\, dx = 25 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $25 e^{x}$

      El resultado es: $- \frac{e^{3 x}}{3} + 25 e^{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{x}}{\frac{1}{25 - e^{2 x}}} = - e^{3 x} + 25 e^{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- e^{3 x}\right)\, dx = - \int e^{3 x}\, dx$

         1. que $u = 3 x$.

            Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

            $\int \frac{e^{u}}{3}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{u}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{e^{3 x}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{3 x}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 25 e^{x}\, dx = 25 \int e^{x}\, dx$

         1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{x}\, dx = e^{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $25 e^{x}$

      El resultado es: $- \frac{e^{3 x}}{3} + 25 e^{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(75 - e^{2 x}\right) e^{x}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(75 - e^{2 x}\right) e^{x}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(75 - e^{2 x}\right) e^{x}}{3}+ \mathrm{constant}$