Integral de (16x-2)/(8x+1)^(1/4) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[4]{8 x + 1}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{\left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(8 u^{2} \left(\frac{u^{4}}{8} - \frac{1}{8}\right) - u^{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 8 u^{2} \left(\frac{u^{4}}{8} - \frac{1}{8}\right)\, du = 8 \int u^{2} \left(\frac{u^{4}}{8} - \frac{1}{8}\right)\, du$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $u^{2} \left(\frac{u^{4}}{8} - \frac{1}{8}\right) = \frac{u^{6}}{8} - \frac{u^{2}}{8}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{u^{6}}{8}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{8}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{56}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{u^{2}}{8}\right)\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{8}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{24}$

               El resultado es: $\frac{u^{7}}{56} - \frac{u^{3}}{24}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$

         El resultado es: $\frac{u^{7}}{7} - \frac{2 u^{3}}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{7}{4}}}{7} - \frac{2 \left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{16 x - 2}{\sqrt[4]{8 x + 1}} = \frac{16 x}{\sqrt[4]{8 x + 1}} - \frac{2}{\sqrt[4]{8 x + 1}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{16 x}{\sqrt[4]{8 x + 1}}\, dx = 16 \int \frac{x}{\sqrt[4]{8 x + 1}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt[4]{8 x + 1}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 dx}{\left(8 x + 1\right)^{\frac{5}{4}}}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 4 \left(- \frac{1}{8} + \frac{1}{8 u^{4}}\right)^{2} + \frac{1}{16} - \frac{1}{16 u^{4}}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 4 \left(- \frac{1}{8} + \frac{1}{8 u^{4}}\right)^{2}\right)\, du = - 4 \int \left(- \frac{1}{8} + \frac{1}{8 u^{4}}\right)^{2}\, du$

                  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

                     Método #1

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(- \frac{1}{8} + \frac{1}{8 u^{4}}\right)^{2} = \frac{1}{64} - \frac{1}{32 u^{4}} + \frac{1}{64 u^{8}}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int \frac{1}{64}\, du = \frac{u}{64}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{1}{32 u^{4}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{32}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{96 u^{3}}$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \frac{1}{64 u^{8}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{8}}\, du}{64}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                           Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{448 u^{7}}$

                        El resultado es: $\frac{u}{64} + \frac{1}{96 u^{3}} - \frac{1}{448 u^{7}}$

                     Método #2

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\left(- \frac{1}{8} + \frac{1}{8 u^{4}}\right)^{2} = \frac{u^{8} - 2 u^{4} + 1}{64 u^{8}}$

                     2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{u^{8} - 2 u^{4} + 1}{64 u^{8}}\, du = \frac{\int \frac{u^{8} - 2 u^{4} + 1}{u^{8}}\, du}{64}$

                        1. Vuelva a escribir el integrando:

                           $\frac{u^{8} - 2 u^{4} + 1}{u^{8}} = 1 - \frac{2}{u^{4}} + \frac{1}{u^{8}}$

                        2. Integramos término a término:

                           1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                              $\int 1\, du = u$

                           1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                              $\int \left(- \frac{2}{u^{4}}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u^{4}}\, du$

                              1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                                 $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                              Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2}{3 u^{3}}$

                           1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                              $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                           El resultado es: $u + \frac{2}{3 u^{3}} - \frac{1}{7 u^{7}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u}{64} + \frac{1}{96 u^{3}} - \frac{1}{448 u^{7}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{16} - \frac{1}{24 u^{3}} + \frac{1}{112 u^{7}}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \frac{1}{16}\, du = \frac{u}{16}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{1}{16 u^{4}}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{16}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{48 u^{3}}$

               El resultado es: $- \frac{1}{48 u^{3}} + \frac{1}{112 u^{7}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{7}{4}}}{112} - \frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{48}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{7}{4}}}{7} - \frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{\sqrt[4]{8 x + 1}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{\sqrt[4]{8 x + 1}}\, dx$

         1. que $u = 8 x + 1$.

            Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

            $\int \frac{1}{8 \sqrt[4]{u}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt[4]{u}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\sqrt[4]{u}}\, du}{8}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt[4]{u}}\, du = \frac{4 u^{\frac{3}{4}}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{4}}}{6}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

      El resultado es: $\frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{7}{4}}}{7} - \frac{2 \left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}} \left(24 x - 11\right)}{21}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}} \left(24 x - 11\right)}{21}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(8 x + 1\right)^{\frac{3}{4}} \left(24 x - 11\right)}{21}+ \mathrm{constant}$