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Resolución de integrales/ lnx^2/ 2*lnx/ x^2*lnx^2

Integral de x^2*lnx^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  x              
 e               
  /              
 |               
 |   2    2      
 |  x *log (x) dx
 |               
/                
1
∫1exx2log⁡(x)2 dx\int\limits_{1}^{e^{x}} x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}\, dx 
Integral(x^2*log(x)^2, (x, 1, exp(x)))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫u2e3u du\int u^{2} e^{3 u}\, du

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

      Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=3uu = 3 u.

        Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(u)=2u3u{\left(u \right)} = \frac{2 u}{3} y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

      Entonces du⁡(u)=23\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{2}{3}.

      Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

      1. que u=3uu = 3 u.

        Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

      Ahora resolvemos podintegral.

    3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫2e3u9 du=2∫e3u du9\int \frac{2 e^{3 u}}{9}\, du = \frac{2 \int e^{3 u}\, du}{9}

      1. que u=3uu = 3 u.

        Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

        ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 2e3u27\frac{2 e^{3 u}}{27}

    Si ahora sustituir uu más en:

    x3log⁡(x)23−2x3log⁡(x)9+2x327\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27}

  2. Ahora simplificar:

    x3(9log⁡(x)2−6log⁡(x)+2)27\frac{x^{3} \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{27}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x3(9log⁡(x)2−6log⁡(x)+2)27+constant\frac{x^{3} \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x3(9log⁡(x)2−6log⁡(x)+2)27+constant\frac{x^{3} \left(9 \log{\left(x \right)}^{2} - 6 \log{\left(x \right)} + 2\right)}{27}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                   
 |                        3      3           3    2   
 |  2    2             2*x    2*x *log(x)   x *log (x)
 | x *log (x) dx = C + ---- - ----------- + ----------
 |                      27         9            3     
/
∫x2log⁡(x)2 dx=C+x3log⁡(x)23−2x3log⁡(x)9+2x327\int x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}\, dx = C + \frac{x^{3} \log{\left(x \right)}^{2}}{3} - \frac{2 x^{3} \log{\left(x \right)}}{9} + \frac{2 x^{3}}{27}
Simplificar
Respuesta [src] 
          3*x      3*x    / x\      2/ x\  3*x
  2    2*e      2*e   *log\e /   log \e /*e   
- -- + ------ - -------------- + -------------
  27     27           9                3
e3xlog⁡(ex)23−2e3xlog⁡(ex)9+2e3x27−227\frac{e^{3 x} \log{\left(e^{x} \right)}^{2}}{3} - \frac{2 e^{3 x} \log{\left(e^{x} \right)}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27} - \frac{2}{27} 
=
= 
          3*x      3*x    / x\      2/ x\  3*x
  2    2*e      2*e   *log\e /   log \e /*e   
- -- + ------ - -------------- + -------------
  27     27           9                3
e3xlog⁡(ex)23−2e3xlog⁡(ex)9+2e3x27−227\frac{e^{3 x} \log{\left(e^{x} \right)}^{2}}{3} - \frac{2 e^{3 x} \log{\left(e^{x} \right)}}{9} + \frac{2 e^{3 x}}{27} - \frac{2}{27} 
-2/27 + 2*exp(3*x)/27 - 2*exp(3*x)*log(exp(x))/9 + log(exp(x))^2*exp(3*x)/3

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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