Integral de 4ln(4x)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(4 x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $4 du$:

      $\int 4 u\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u\, du = 4 \int u\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 u^{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(4 x \right)}^{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 \log{\left(4 x \right)}}{x} = \frac{4 \log{\left(x \right)} + 8 \log{\left(2 \right)}}{x}$

   2. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{4 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 8 \log{\left(2 \right)}}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 8 \log{\left(2 \right)}}{u}\, du = - \int \frac{4 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 8 \log{\left(2 \right)}}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 4 u - 8 \log{\left(2 \right)}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 4 u\right)\, du = - 4 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 2 u^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(- 8 \log{\left(2 \right)}\right)\, du = - 8 u \log{\left(2 \right)}$

               El resultado es: $- 2 u^{2} - 8 u \log{\left(2 \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - 8 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 8 \log{\left(2 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \log{\left(x \right)}^{2} + 8 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{4 \log{\left(4 x \right)}}{x} = \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 4 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x \right)}^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{8 \log{\left(2 \right)}}{x}\, dx = 8 \log{\left(2 \right)} \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $8 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $2 \log{\left(x \right)}^{2} + 8 \log{\left(2 \right)} \log{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 \log{\left(4 x \right)}^{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 \log{\left(4 x \right)}^{2}+ \mathrm{constant}$