Sr Examen

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Integral de x/(x^2+3x+4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 3*x + 4   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} + 3 x\right) + 4}\, dx$$
Integral(x/(x^2 + 3*x + 4), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      x         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 3*x + 4   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x + 3   \                              
               |------------|             / -3  \          
               | 2          |             |-----|          
     x         \x  + 3*x + 4/             \2*7/4/          
------------ = -------------- + ---------------------------
 2                   2                                2    
x  + 3*x + 4                    /     ___         ___\     
                                |-2*\/ 7      3*\/ 7 |     
                                |--------*x - -------|  + 1
                                \   7            7   /     
o
  /                 
 |                  
 |      x           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 3*x + 4     
 |                  
/                   
  
                         /                              
                        |                               
                        |              1                
  /                  6* | --------------------------- dx
 |                      |                       2       
 |   2*x + 3            | /     ___         ___\        
 | ------------ dx      | |-2*\/ 7      3*\/ 7 |        
 |  2                   | |--------*x - -------|  + 1   
 | x  + 3*x + 4         | \   7            7   /        
 |                      |                               
/                      /                                
------------------ - -----------------------------------
        2                             7                 
En integral
  /               
 |                
 |   2*x + 3      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 3*x + 4   
 |                
/                 
------------------
        2         
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 3*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 4 + u                
 |                      
/             log(4 + u)
----------- = ----------
     2            2     
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x + 3                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  + 3*x + 4                       
 |                      /     2      \
/                    log\4 + x  + 3*x/
------------------ = -----------------
        2                    2        
En integral
     /                              
    |                               
    |              1                
-6* | --------------------------- dx
    |                       2       
    | /     ___         ___\        
    | |-2*\/ 7      3*\/ 7 |        
    | |--------*x - -------|  + 1   
    | \   7            7   /        
    |                               
   /                                
------------------------------------
                 7                  
hacemos el cambio
          ___         ___
      3*\/ 7    2*x*\/ 7 
v = - ------- - ---------
         7          7    
entonces
integral =
     /                      
    |                       
    |   1                   
-6* | ------ dv             
    |      2                
    | 1 + v                 
    |                       
   /              -6*atan(v)
--------------- = ----------
       7              7     
hacemos cambio inverso
     /                                                                   
    |                                                                    
    |              1                                                     
-6* | --------------------------- dx                                     
    |                       2                                            
    | /     ___         ___\                                             
    | |-2*\/ 7      3*\/ 7 |                                             
    | |--------*x - -------|  + 1                   /    ___         ___\
    | \   7            7   /                ___     |3*\/ 7    2*x*\/ 7 |
    |                                  -3*\/ 7 *atan|------- + ---------|
   /                                                \   7          7    /
------------------------------------ = ----------------------------------
                 7                                     7                 
La solución:
                                    /    ___         ___\
                            ___     |3*\/ 7    2*x*\/ 7 |
       /     2      \   3*\/ 7 *atan|------- + ---------|
    log\4 + x  + 3*x/               \   7          7    /
C + ----------------- - ---------------------------------
            2                           7                
Respuesta (Indefinida) [src]
                                                         /    ___          \
  /                                              ___     |2*\/ 7 *(3/2 + x)|
 |                          /     2      \   3*\/ 7 *atan|-----------------|
 |      x                log\4 + x  + 3*x/               \        7        /
 | ------------ dx = C + ----------------- - -------------------------------
 |  2                            2                          7               
 | x  + 3*x + 4                                                             
 |                                                                          
/                                                                           
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 3 x\right) + 4}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 3 x + 4 \right)}}{2} - \frac{3 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{7} \left(x + \frac{3}{2}\right)}{7} \right)}}{7}$$
Gráfica
Respuesta [src]
                              /    ___\               /    ___\
                      ___     |5*\/ 7 |       ___     |3*\/ 7 |
                  3*\/ 7 *atan|-------|   3*\/ 7 *atan|-------|
log(8)   log(4)               \   7   /               \   7   /
------ - ------ - --------------------- + ---------------------
  2        2                7                       7          
$$- \frac{3 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{2} + \frac{3 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$
=
=
                              /    ___\               /    ___\
                      ___     |5*\/ 7 |       ___     |3*\/ 7 |
                  3*\/ 7 *atan|-------|   3*\/ 7 *atan|-------|
log(8)   log(4)               \   7   /               \   7   /
------ - ------ - --------------------- + ---------------------
  2        2                7                       7          
$$- \frac{3 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{5 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7} - \frac{\log{\left(4 \right)}}{2} + \frac{3 \sqrt{7} \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{7}}{7} \right)}}{7} + \frac{\log{\left(8 \right)}}{2}$$
log(8)/2 - log(4)/2 - 3*sqrt(7)*atan(5*sqrt(7)/7)/7 + 3*sqrt(7)*atan(3*sqrt(7)/7)/7
Respuesta numérica [src]
0.0789301896116776
0.0789301896116776

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.