Sr Examen

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Integral de x/(x^2+4x+8) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  + 4*x + 8   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}\, dx$$
Integral(x/(x^2 + 4*x + 8), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      x         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 4*x + 8   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x + 4   \                 
               |------------|       /-2 \     
               | 2          |       |---|     
     x         \x  + 4*x + 8/       \ 4 /     
------------ = -------------- + --------------
 2                   2                   2    
x  + 4*x + 8                    /  x    \     
                                |- - - 1|  + 1
                                \  2    /     
o
  /                 
 |                  
 |      x           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  + 4*x + 8     
 |                  
/                   
  
                       /                 
                      |                  
  /                   |       1          
 |                    | -------------- dx
 |   2*x + 4          |          2       
 | ------------ dx    | /  x    \        
 |  2                 | |- - - 1|  + 1   
 | x  + 4*x + 8       | \  2    /        
 |                    |                  
/                    /                   
------------------ - --------------------
        2                     2          
En integral
  /               
 |                
 |   2*x + 4      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  + 4*x + 8   
 |                
/                 
------------------
        2         
hacemos el cambio
     2      
u = x  + 4*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 8 + u                
 |                      
/             log(8 + u)
----------- = ----------
     2            2     
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x + 4                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  + 4*x + 8                       
 |                      /     2      \
/                    log\8 + x  + 4*x/
------------------ = -----------------
        2                    2        
En integral
   /                  
  |                   
  |       1           
- | -------------- dx 
  |          2        
  | /  x    \         
  | |- - - 1|  + 1    
  | \  2    /         
  |                   
 /                    
----------------------
          2           
hacemos el cambio
         x
v = -1 - -
         2
entonces
integral =
   /                      
  |                       
  |   1                   
- | ------ dv             
  |      2                
  | 1 + v                 
  |                       
 /               -atan(v) 
-------------- = ---------
      2              2    
hacemos cambio inverso
   /                                 
  |                                  
  |       1                          
- | -------------- dx                
  |          2                       
  | /  x    \                        
  | |- - - 1|  + 1                   
  | \  2    /                        
  |                                  
 /                            /    x\
---------------------- = -atan|1 + -|
          2                   \    2/
La solución:
       /     2      \              
    log\8 + x  + 4*x/       /    x\
C + ----------------- - atan|1 + -|
            2               \    2/
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                     
 |                          /     2      \              
 |      x                log\8 + x  + 4*x/       /    x\
 | ------------ dx = C + ----------------- - atan|1 + -|
 |  2                            2               \    2/
 | x  + 4*x + 8                                         
 |                                                      
/                                                       
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} + 4 x\right) + 8}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} + 4 x + 8 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{x}{2} + 1 \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
log(13)               log(8)   pi
------- - atan(3/2) - ------ + --
   2                    2      4 
$$- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)} + \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(13 \right)}}{2}$$
=
=
log(13)               log(8)   pi
------- - atan(3/2) - ------ + --
   2                    2      4 
$$- \frac{\log{\left(8 \right)}}{2} - \operatorname{atan}{\left(\frac{3}{2} \right)} + \frac{\pi}{4} + \frac{\log{\left(13 \right)}}{2}$$
log(13)/2 - atan(3/2) - log(8)/2 + pi/4
Respuesta numérica [src]
0.0453583480409696
0.0453583480409696

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.