Sr Examen
Integral de 1/(x²+2x+3) dx
Solución
Ha introducido
[src]
oo / | | 1 | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 3 | / 0
$$\int\limits_{0}^{\infty} \frac{1}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}\, dx$$
Integral(1/(x^2 + 2*x + 3), (x, 0, oo))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 1 | ------------ dx | 2 | x + 2*x + 3 | /
Reescribimos la función subintegral
1 1
------------ = ----------------------------
2 / 2 \
x + 2*x + 3 |/ ___ ___\ |
||-\/ 2 \/ 2 | |
2*||-------*x - -----| + 1|
\\ 2 2 / /o
/ | | 1 | ------------ dx | 2 = | x + 2*x + 3 | /
/
|
| 1
| ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x - -----| + 1
| \ 2 2 /
|
/
------------------------------
2 En integral
/
|
| 1
| ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x - -----| + 1
| \ 2 2 /
|
/
------------------------------
2 hacemos el cambio
___ ___
\/ 2 x*\/ 2
v = - ----- - -------
2 2 entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ atan(v)
------------ = -------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
| ------------------------ dx
| 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x - -----| + 1 / ___ ___\
| \ 2 2 / ___ |\/ 2 x*\/ 2 |
| \/ 2 *atan|----- + -------|
/ \ 2 2 /
------------------------------ = ---------------------------
2 2 La solución:
/ ___ ___\
___ |\/ 2 x*\/ 2 |
\/ 2 *atan|----- + -------|
\ 2 2 /
C + ---------------------------
2
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |\/ 2 *(1 + x)| | \/ 2 *atan|-------------| | 1 \ 2 / | ------------ dx = C + ------------------------- | 2 2 | x + 2*x + 3 | /
$$\int \frac{1}{\left(x^{2} + 2 x\right) + 3}\, dx = C + \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(x + 1\right)}{2} \right)}}{2}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\
___ |\/ 2 |
\/ 2 *atan|-----| ___
\ 2 / pi*\/ 2
- ----------------- + --------
2 4
$$- \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{4}$$
=
=
/ ___\
___ |\/ 2 |
\/ 2 *atan|-----| ___
\ 2 / pi*\/ 2
- ----------------- + --------
2 4
$$- \frac{\sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{2} \pi}{4}$$
-sqrt(2)*atan(sqrt(2)/2)/2 + pi*sqrt(2)/4
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.