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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de /x^2
Integral de x^2/(9+x^6)
Integral de x^2/1+x^6
Integral de (√x-1/√x)^2
Expresiones idénticas
(sin(x/ dos))^ cuatro
( seno de (x dividir por 2)) en el grado 4
( seno de (x dividir por dos)) en el grado cuatro
(sin(x/2))4
sinx/24
(sin(x/2))⁴
sinx/2^4
(sin(x dividir por 2))^4
(sin(x/2))^4dx
Expresiones con funciones
Seno sin
sin(x)/(cos(x))^2
sin(x)*cos^2(x)
sin(x)/
sin(x)^7
sin(x)^(7/2)*cos(x)^(5/2)

Resolución de integrales/ sin(x/2)/ (sin(x/2))^4

Integral de (sin(x/2))^4 dx

Solución

Ha introducido [src]

  p           
  -           
  2           
  /           
 |            
 |     4/x\   
 |  sin |-| dx
 |      \2/   
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{\frac{p}{2}} \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$

Integral(sin(x/2)^4, (x, 0, p/2))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  El resultado es: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)^{2} = \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{1}{4}$
2. Integramos término a término:
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{\int \cos^{2}{\left(x \right)}\, dx}{4}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cos^{2}{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{1}{2}$
    2. Integramos término a término:
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2}\, dx = \frac{\int \cos{\left(2 x \right)}\, dx}{2}$
      
      que $u = 2 x$ .
      
      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
      
      $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{2}\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \cos{\left(u \right)}\, du}{2}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(u \right)}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int \frac{1}{2}\, dx = \frac{x}{2}$
      
      El resultado es: $\frac{x}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int \cos{\left(x \right)}\, dx}{2}$
    1. La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
    
    $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$
  El resultado es: $\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                        
 |                                         
 |    4/x\          sin(x)   sin(2*x)   3*x
 | sin |-| dx = C - ------ + -------- + ---
 |     \2/            2         16       8 
 |                                         
/

$$\int \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = C + \frac{3 x}{8} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{16}$$

Simplificar

Respuesta [src]

           /p\    /p\      3/p\    /p\
      3*cos|-|*sin|-|   sin |-|*cos|-|
3*p        \4/    \4/       \4/    \4/
--- - --------------- - --------------
 16          4                2

$$\frac{3 p}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{p}{4} \right)} \cos{\left(\frac{p}{4} \right)}}{2} - \frac{3 \sin{\left(\frac{p}{4} \right)} \cos{\left(\frac{p}{4} \right)}}{4}$$

           /p\    /p\      3/p\    /p\
      3*cos|-|*sin|-|   sin |-|*cos|-|
3*p        \4/    \4/       \4/    \4/
--- - --------------- - --------------
 16          4                2

$$\frac{3 p}{16} - \frac{\sin^{3}{\left(\frac{p}{4} \right)} \cos{\left(\frac{p}{4} \right)}}{2} - \frac{3 \sin{\left(\frac{p}{4} \right)} \cos{\left(\frac{p}{4} \right)}}{4}$$

3*p/16 - 3*cos(p/4)*sin(p/4)/4 - sin(p/4)^3*cos(p/4)/2

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de (sin(x/2))^4 dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2