Integral de 3+cos(5x)^(1/2)*sin5x dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(5 x \right)}$.

         Luego que $du = - 5 \sin{\left(5 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

         $\int \left(- \frac{\sqrt{u}}{5}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = - \frac{\int \sqrt{u}\, du}{5}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{15}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(5 x \right)}}{15}$

      Método #2

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \sqrt{\cos{\left(u \right)}}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)} \sqrt{\cos{\left(u \right)}}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)} \sqrt{\cos{\left(u \right)}}\, du}{5}$

            1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- \sqrt{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \sqrt{u}\, du = - \int \sqrt{u}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(u \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(u \right)}}{15}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(5 x \right)}}{15}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 3\, dx = 3 x$

   El resultado es: $3 x - \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(5 x \right)}}{15}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $3 x - \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(5 x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 x - \frac{2 \cos^{\frac{3}{2}}{\left(5 x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$