Integral de 1/x(3lnx+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 5}{u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 5}{u}\, du = - \int \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + 5}{u}\, du$

         1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $du$:

            $\int \left(- 3 u - 5\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int \left(-5\right)\, du = - 5 u$

               El resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2} - 5 u$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} - 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2} + 5 \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + 5 \log{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 \log{\left(x \right)} + 5}{x} = \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{5}{x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 3 \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x}$.

            Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du$

               1. que $u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}$.

                  Luego que $du = - \frac{du}{u}$ y ponemos $- du$:

                  $\int \left(- u\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int u\, du = - \int u\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x}\, dx = 5 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $5 \log{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{3 \log{\left(x \right)}^{2}}{2} + 5 \log{\left(x \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 \log{\left(x \right)} + 10\right) \log{\left(x \right)}}{2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 \log{\left(x \right)} + 10\right) \log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 \log{\left(x \right)} + 10\right) \log{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$