Integral de (2x+6)⁶dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x + 6$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{u^{6}}{2}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{6}\, du = \frac{\int u^{6}\, du}{2}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{7}}{14}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x + 6\right)^{7}}{14}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 6\right)^{6} = 64 x^{6} + 1152 x^{5} + 8640 x^{4} + 34560 x^{3} + 77760 x^{2} + 93312 x + 46656$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 64 x^{6}\, dx = 64 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{64 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1152 x^{5}\, dx = 1152 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $192 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8640 x^{4}\, dx = 8640 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1728 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 34560 x^{3}\, dx = 34560 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8640 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 77760 x^{2}\, dx = 77760 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $25920 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 93312 x\, dx = 93312 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $46656 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 46656\, dx = 46656 x$

      El resultado es: $\frac{64 x^{7}}{7} + 192 x^{6} + 1728 x^{5} + 8640 x^{4} + 25920 x^{3} + 46656 x^{2} + 46656 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{64 \left(x + 3\right)^{7}}{7}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{64 \left(x + 3\right)^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{64 \left(x + 3\right)^{7}}{7}+ \mathrm{constant}$