Integral de ((3x^2)/2)*((2x^3)+4)^1/2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x^{3} + 4$.

      Luego que $du = 6 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{\sqrt{u}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{\frac{3}{2}}}{6}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(2 x^{3} + 4\right)^{\frac{3}{2}}}{6}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x^{2}}{2} \sqrt{2 x^{3} + 4} = \frac{3 \sqrt{2} x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{3 \sqrt{2} x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}}{2}\, dx = \frac{3 \sqrt{2} \int x^{2} \sqrt{x^{3} + 2}\, dx}{2}$

      1. que $u = x^{3} + 2$.

         Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sqrt{u}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sqrt{u}\, du = \frac{\int \sqrt{u}\, du}{3}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \sqrt{u}\, du = \frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 u^{\frac{3}{2}}}{9}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{2 \left(x^{3} + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{2} \left(x^{3} + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\sqrt{2} \left(x^{3} + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\sqrt{2} \left(x^{3} + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\sqrt{2} \left(x^{3} + 2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}+ \mathrm{constant}$