Integral de x*(3*x+1)^5 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(3 x + 1\right)^{5} = 243 x^{6} + 405 x^{5} + 270 x^{4} + 90 x^{3} + 15 x^{2} + x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 243 x^{6}\, dx = 243 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{243 x^{7}}{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 405 x^{5}\, dx = 405 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{135 x^{6}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 270 x^{4}\, dx = 270 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $54 x^{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 90 x^{3}\, dx = 90 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{45 x^{4}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 15 x^{2}\, dx = 15 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5 x^{3}$

   1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

      $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

   El resultado es: $\frac{243 x^{7}}{7} + \frac{135 x^{6}}{2} + 54 x^{5} + \frac{45 x^{4}}{2} + 5 x^{3} + \frac{x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(486 x^{5} + 945 x^{4} + 756 x^{3} + 315 x^{2} + 70 x + 7\right)}{14}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(486 x^{5} + 945 x^{4} + 756 x^{3} + 315 x^{2} + 70 x + 7\right)}{14}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(486 x^{5} + 945 x^{4} + 756 x^{3} + 315 x^{2} + 70 x + 7\right)}{14}+ \mathrm{constant}$