Integral de (((y-1)^2+1)^3)/3 dy

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\left(\left(y - 1\right)^{2} + 1\right)^{3}}{3}\, dy = \frac{\int \left(\left(y - 1\right)^{2} + 1\right)^{3}\, dy}{3}$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\left(y - 1\right)^{2} + 1\right)^{3} = y^{6} - 6 y^{5} + 18 y^{4} - 32 y^{3} + 36 y^{2} - 24 y + 8$

   2. Integramos término a término:

      1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int y^{6}\, dy = \frac{y^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 y^{5}\right)\, dy = - 6 \int y^{5}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{5}\, dy = \frac{y^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- y^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 18 y^{4}\, dy = 18 \int y^{4}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{4}\, dy = \frac{y^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18 y^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 32 y^{3}\right)\, dy = - 32 \int y^{3}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{3}\, dy = \frac{y^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 8 y^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 36 y^{2}\, dy = 36 \int y^{2}\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y^{2}\, dy = \frac{y^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12 y^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 24 y\right)\, dy = - 24 \int y\, dy$

         1. Integral $y^{n}$ es $\frac{y^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int y\, dy = \frac{y^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 12 y^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 8\, dy = 8 y$

      El resultado es: $\frac{y^{7}}{7} - y^{6} + \frac{18 y^{5}}{5} - 8 y^{4} + 12 y^{3} - 12 y^{2} + 8 y$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{y^{7}}{21} - \frac{y^{6}}{3} + \frac{6 y^{5}}{5} - \frac{8 y^{4}}{3} + 4 y^{3} - 4 y^{2} + \frac{8 y}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{y \left(5 y^{6} - 35 y^{5} + 126 y^{4} - 280 y^{3} + 420 y^{2} - 420 y + 280\right)}{105}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{y \left(5 y^{6} - 35 y^{5} + 126 y^{4} - 280 y^{3} + 420 y^{2} - 420 y + 280\right)}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{y \left(5 y^{6} - 35 y^{5} + 126 y^{4} - 280 y^{3} + 420 y^{2} - 420 y + 280\right)}{105}+ \mathrm{constant}$