Integral de x/x+8(2x-5)^3 dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 8 \left(2 x - 5\right)^{3}\, dx = 8 \int \left(2 x - 5\right)^{3}\, dx$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 2 x - 5$.

            Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

            $\int \frac{u^{3}}{2}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{8}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\left(2 x - 5\right)^{4}}{8}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(2 x - 5\right)^{3} = 8 x^{3} - 60 x^{2} + 150 x - 125$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 8 x^{3}\, dx = 8 \int x^{3}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{4}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 60 x^{2}\right)\, dx = - 60 \int x^{2}\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 20 x^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 150 x\, dx = 150 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $75 x^{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(-125\right)\, dx = - 125 x$

            El resultado es: $2 x^{4} - 20 x^{3} + 75 x^{2} - 125 x$

      Por lo tanto, el resultado es: $\left(2 x - 5\right)^{4}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $x$

   El resultado es: $x + \left(2 x - 5\right)^{4}$

2. Ahora simplificar:

   $x + \left(2 x - 5\right)^{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x + \left(2 x - 5\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x + \left(2 x - 5\right)^{4}+ \mathrm{constant}$