Integral de (x^7+1-9x+2/(x+4)-3/cos^2(x/4)) dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 9 x\right)\, dx = - 9 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 x^{2}}{2}$

         1. Integramos término a término:

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            El resultado es: $\frac{x^{8}}{8} + x$

         El resultado es: $\frac{x^{8}}{8} - \frac{9 x^{2}}{2} + x$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x + 4}\, dx = 2 \int \frac{1}{x + 4}\, dx$

         1. que $u = x + 4$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x + 4 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \log{\left(x + 4 \right)}$

      El resultado es: $\frac{x^{8}}{8} - \frac{9 x^{2}}{2} + x + 2 \log{\left(x + 4 \right)}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{3}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}\right)\, dx = - 3 \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{4} \right)}}\, dx$

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

         Pero la integral

         $\frac{4 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}$

   El resultado es: $\frac{x^{8}}{8} - \frac{9 x^{2}}{2} + x + 2 \log{\left(x + 4 \right)} - \frac{12 \sin{\left(\frac{x}{4} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{4} \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{8}}{8} - \frac{9 x^{2}}{2} + x + 2 \log{\left(x + 4 \right)} - 12 \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{8}}{8} - \frac{9 x^{2}}{2} + x + 2 \log{\left(x + 4 \right)} - 12 \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{8}}{8} - \frac{9 x^{2}}{2} + x + 2 \log{\left(x + 4 \right)} - 12 \tan{\left(\frac{x}{4} \right)}+ \mathrm{constant}$