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Resolución de integrales/ log10/ (x^2+log10x^2)/x

Integral de (x^2+log10x^2)/x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  E                   
  /                   
 |                    
 |   2      2         
 |  x  + log (10*x)   
 |  --------------- dx
 |         x          
 |                    
/                     
1
∫1ex2+log⁡(10x)2x dx\int\limits_{1}^{e} \frac{x^{2} + \log{\left(10 x \right)}^{2}}{x}\, dx 
Integral((x^2 + log(10*x)^2)/x, (x, 1, E))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−u2log⁡(1u)2+2u2log⁡(10)log⁡(1u)+u2log⁡(10)2+1u3) du\int \left(- \frac{u^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2 u^{2} \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + u^{2} \log{\left(10 \right)}^{2} + 1}{u^{3}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2log⁡(1u)2+2u2log⁡(10)log⁡(1u)+u2log⁡(10)2+1u3 du=−∫u2log⁡(1u)2+2u2log⁡(10)log⁡(1u)+u2log⁡(10)2+1u3 du\int \frac{u^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2 u^{2} \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + u^{2} \log{\left(10 \right)}^{2} + 1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{u^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2 u^{2} \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + u^{2} \log{\left(10 \right)}^{2} + 1}{u^{3}}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

          ∫(−u2−2ulog⁡(10)−e2u−log⁡(10)2) du\int \left(- u^{2} - 2 u \log{\left(10 \right)} - e^{2 u} - \log{\left(10 \right)}^{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2ulog⁡(10)) du=−2log⁡(10)∫u du\int \left(- 2 u \log{\left(10 \right)}\right)\, du = - 2 \log{\left(10 \right)} \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u2log⁡(10)- u^{2} \log{\left(10 \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−e2u) du=−∫e2u du\int \left(- e^{2 u}\right)\, du = - \int e^{2 u}\, du

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −e2u2- \frac{e^{2 u}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−log⁡(10)2) du=−ulog⁡(10)2\int \left(- \log{\left(10 \right)}^{2}\right)\, du = - u \log{\left(10 \right)}^{2}

            El resultado es: −u33−u2log⁡(10)−ulog⁡(10)2−e2u2- \frac{u^{3}}{3} - u^{2} \log{\left(10 \right)} - u \log{\left(10 \right)}^{2} - \frac{e^{2 u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(1u)33−log⁡(10)log⁡(1u)2−log⁡(10)2log⁡(1u)−12u2- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33+log⁡(10)log⁡(1u)2+log⁡(10)2log⁡(1u)+12u2\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x22+log⁡(x)33+log⁡(10)log⁡(x)2+log⁡(10)2log⁡(x)\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2+log⁡(10x)2x=x2+log⁡(x)2+2log⁡(10)log⁡(x)+log⁡(10)2x\frac{x^{2} + \log{\left(10 x \right)}^{2}}{x} = \frac{x^{2} + \log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)} + \log{\left(10 \right)}^{2}}{x}

    2. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−u2log⁡(1u)2+2u2log⁡(10)log⁡(1u)+u2log⁡(10)2+1u3) du\int \left(- \frac{u^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2 u^{2} \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + u^{2} \log{\left(10 \right)}^{2} + 1}{u^{3}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u2log⁡(1u)2+2u2log⁡(10)log⁡(1u)+u2log⁡(10)2+1u3 du=−∫u2log⁡(1u)2+2u2log⁡(10)log⁡(1u)+u2log⁡(10)2+1u3 du\int \frac{u^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2 u^{2} \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + u^{2} \log{\left(10 \right)}^{2} + 1}{u^{3}}\, du = - \int \frac{u^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + 2 u^{2} \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + u^{2} \log{\left(10 \right)}^{2} + 1}{u^{3}}\, du

        1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

          Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos dudu:

          ∫(−u2−2ulog⁡(10)−e2u−log⁡(10)2) du\int \left(- u^{2} - 2 u \log{\left(10 \right)} - e^{2 u} - \log{\left(10 \right)}^{2}\right)\, du

          1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−u2) du=−∫u2 du\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−2ulog⁡(10)) du=−2log⁡(10)∫u du\int \left(- 2 u \log{\left(10 \right)}\right)\, du = - 2 \log{\left(10 \right)} \int u\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −u2log⁡(10)- u^{2} \log{\left(10 \right)}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−e2u) du=−∫e2u du\int \left(- e^{2 u}\right)\, du = - \int e^{2 u}\, du

              1. que u=2uu = 2 u.

                Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

                ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  False\text{False}

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                    ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                  Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

                Si ahora sustituir uu más en:

                e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

              Por lo tanto, el resultado es: −e2u2- \frac{e^{2 u}}{2}

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

              ∫(−log⁡(10)2) du=−ulog⁡(10)2\int \left(- \log{\left(10 \right)}^{2}\right)\, du = - u \log{\left(10 \right)}^{2}

            El resultado es: −u33−u2log⁡(10)−ulog⁡(10)2−e2u2- \frac{u^{3}}{3} - u^{2} \log{\left(10 \right)} - u \log{\left(10 \right)}^{2} - \frac{e^{2 u}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(1u)33−log⁡(10)log⁡(1u)2−log⁡(10)2log⁡(1u)−12u2- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} - \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} - \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} - \frac{1}{2 u^{2}}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33+log⁡(10)log⁡(1u)2+log⁡(10)2log⁡(1u)+12u2\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3} + \log{\left(10 \right)} \log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(\frac{1}{u} \right)} + \frac{1}{2 u^{2}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x22+log⁡(x)33+log⁡(10)log⁡(x)2+log⁡(10)2log⁡(x)\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x2+log⁡(10x)2x=x+log⁡(x)2x+2log⁡(10)log⁡(x)x+log⁡(10)2x\frac{x^{2} + \log{\left(10 x \right)}^{2}}{x} = x + \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} + \frac{2 \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}}{x} + \frac{\log{\left(10 \right)}^{2}}{x}

    2. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

        Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

        ∫(−log⁡(1u)2u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫log⁡(1u)2u du=−∫log⁡(1u)2u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{u}\, du

          1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

            Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

            ∫(−u2) du\int \left(- u^{2}\right)\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫u2 du=−∫u2 du\int u^{2}\, du = - \int u^{2}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫u2 du=u33\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}

              Por lo tanto, el resultado es: −u33- \frac{u^{3}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            −log⁡(1u)33- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)33\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{3}}{3}

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x)33\frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2log⁡(10)log⁡(x)x dx=2log⁡(10)∫log⁡(x)x dx\int \frac{2 \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}}{x}\, dx = 2 \log{\left(10 \right)} \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x}\, dx

        1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

          Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

          ∫(−log⁡(1u)u) du\int \left(- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫log⁡(1u)u du=−∫log⁡(1u)u du\int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du = - \int \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}}{u}\, du

            1. que u=log⁡(1u)u = \log{\left(\frac{1}{u} \right)}.

              Luego que du=−duudu = - \frac{du}{u} y ponemos −du- du:

              ∫(−u) du\int \left(- u\right)\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                ∫u du=−∫u du\int u\, du = - \int u\, du

                1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                  ∫u du=u22\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}

                Por lo tanto, el resultado es: −u22- \frac{u^{2}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              −log⁡(1u)22- \frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: log⁡(1u)22\frac{\log{\left(\frac{1}{u} \right)}^{2}}{2}

          Si ahora sustituir uu más en:

          log⁡(x)22\frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(10)log⁡(x)2\log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫log⁡(10)2x dx=log⁡(10)2∫1x dx\int \frac{\log{\left(10 \right)}^{2}}{x}\, dx = \log{\left(10 \right)}^{2} \int \frac{1}{x}\, dx

        1. Integral 1x\frac{1}{x} es log⁡(x)\log{\left(x \right)}.

        Por lo tanto, el resultado es: log⁡(10)2log⁡(x)\log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}

      El resultado es: x22+log⁡(x)33+log⁡(10)log⁡(x)2+log⁡(10)2log⁡(x)\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}

  2. Añadimos la constante de integración:

    x22+log⁡(x)33+log⁡(10)log⁡(x)2+log⁡(10)2log⁡(x)+constant\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x22+log⁡(x)33+log⁡(10)log⁡(x)2+log⁡(10)2log⁡(x)+constant\frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                         
 |                                                                          
 |  2      2                 2      3                                       
 | x  + log (10*x)          x    log (x)      2                 2           
 | --------------- dx = C + -- + ------- + log (10)*log(x) + log (x)*log(10)
 |        x                 2       3                                       
 |                                                                          
/
∫x2+log⁡(10x)2x dx=C+x22+log⁡(x)33+log⁡(10)log⁡(x)2+log⁡(10)2log⁡(x)\int \frac{x^{2} + \log{\left(10 x \right)}^{2}}{x}\, dx = C + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)}^{3}}{3} + \log{\left(10 \right)} \log{\left(x \right)}^{2} + \log{\left(10 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}
Simplificar
Gráfica
1.01.21.41.61.82.02.22.42.6020
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       2      3          3      
  1   e    log (10)   log (10*E)
- - + -- - -------- + ----------
  2   2       3           3
−log⁡(10)33−12+e22+log⁡(10e)33- \frac{\log{\left(10 \right)}^{3}}{3} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} + \frac{\log{\left(10 e \right)}^{3}}{3} 
=
= 
       2      3          3      
  1   e    log (10)   log (10*E)
- - + -- - -------- + ----------
  2   2       3           3
−log⁡(10)33−12+e22+log⁡(10e)33- \frac{\log{\left(10 \right)}^{3}}{3} - \frac{1}{2} + \frac{e^{2}}{2} + \frac{\log{\left(10 e \right)}^{3}}{3} 
-1/2 + exp(2)/2 - log(10)^3/3 + log(10*E)^3/3
Respuesta numérica [src] 
11.1323445862711
11.1323445862711

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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