Integral de (4x-3)^11 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 4 x - 3$.

      Luego que $du = 4 dx$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

      $\int \frac{u^{11}}{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{11}\, du = \frac{\int u^{11}\, du}{4}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{11}\, du = \frac{u^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{12}}{48}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(4 x - 3\right)^{12}}{48}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(4 x - 3\right)^{11} = 4194304 x^{11} - 34603008 x^{10} + 129761280 x^{9} - 291962880 x^{8} + 437944320 x^{7} - 459841536 x^{6} + 344881152 x^{5} - 184757760 x^{4} + 69284160 x^{3} - 17321040 x^{2} + 2598156 x - 177147$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4194304 x^{11}\, dx = 4194304 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1048576 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 34603008 x^{10}\right)\, dx = - 34603008 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3145728 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 129761280 x^{9}\, dx = 129761280 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $12976128 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 291962880 x^{8}\right)\, dx = - 291962880 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 32440320 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 437944320 x^{7}\, dx = 437944320 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $54743040 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 459841536 x^{6}\right)\, dx = - 459841536 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 65691648 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 344881152 x^{5}\, dx = 344881152 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $57480192 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 184757760 x^{4}\right)\, dx = - 184757760 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 36951552 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 69284160 x^{3}\, dx = 69284160 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $17321040 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 17321040 x^{2}\right)\, dx = - 17321040 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 5773680 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2598156 x\, dx = 2598156 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1299078 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-177147\right)\, dx = - 177147 x$

      El resultado es: $\frac{1048576 x^{12}}{3} - 3145728 x^{11} + 12976128 x^{10} - 32440320 x^{9} + 54743040 x^{8} - 65691648 x^{7} + 57480192 x^{6} - 36951552 x^{5} + 17321040 x^{4} - 5773680 x^{3} + 1299078 x^{2} - 177147 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(4 x - 3\right)^{12}}{48}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(4 x - 3\right)^{12}}{48}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(4 x - 3\right)^{12}}{48}+ \mathrm{constant}$