Sr Examen

Otras calculadoras

Resolución de integrales/ Ln^3(3x)/4x

Integral de Ln^3(3x)/4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1               
  /               
 |                
 |     3          
 |  log (3*x)     
 |  ---------*x dx
 |      4         
 |                
/                 
0
∫01xlog⁡(3x)34 dx\int\limits_{0}^{1} x \frac{\log{\left(3 x \right)}^{3}}{4}\, dx 
Integral((log(3*x)^3/4)*x, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡(3x)34=xlog⁡(x)34+3xlog⁡(3)log⁡(x)24+3xlog⁡(3)2log⁡(x)4+xlog⁡(3)34x \frac{\log{\left(3 x \right)}^{3}}{4} = \frac{x \log{\left(x \right)}^{3}}{4} + \frac{3 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{3 x \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \log{\left(3 \right)}^{3}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(x)34 dx=∫xlog⁡(x)3 dx4\int \frac{x \log{\left(x \right)}^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x \log{\left(x \right)}^{3}\, dx}{4}

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫u3e2u du\int u^{3} e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=3u22u{\left(u \right)} = \frac{3 u^{2}}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=3u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=3u2u{\left(u \right)} = \frac{3 u}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=32\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{2}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3e2u4 du=3∫e2u du4\int \frac{3 e^{2 u}}{4}\, du = \frac{3 \int e^{2 u}\, du}{4}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 3e2u8\frac{3 e^{2 u}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)32−3x2log⁡(x)24+3x2log⁡(x)4−3x28\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{2} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)38−3x2log⁡(x)216+3x2log⁡(x)16−3x232\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{16} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{16} - \frac{3 x^{2}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xlog⁡(3)log⁡(x)24 dx=3log⁡(3)∫xlog⁡(x)2 dx4\int \frac{3 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{4}\, dx = \frac{3 \log{\left(3 \right)} \int x \log{\left(x \right)}^{2}\, dx}{4}

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24)log⁡(3)4\frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xlog⁡(3)2log⁡(x)4 dx=3log⁡(3)2∫xlog⁡(x) dx4\int \frac{3 x \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2} \int x \log{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2log⁡(x)2−x24)log⁡(3)24\frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(3)34 dx=log⁡(3)3∫x dx4\int \frac{x \log{\left(3 \right)}^{3}}{4}\, dx = \frac{\log{\left(3 \right)}^{3} \int x\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(3)38\frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}^{3}}{8}

      El resultado es: x2log⁡(x)38−3x2log⁡(x)216+3x2log⁡(x)16−3x232+x2log⁡(3)38+3(x2log⁡(x)2−x24)log⁡(3)24+3(x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24)log⁡(3)4\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{16} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{16} - \frac{3 x^{2}}{32} + \frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}^{3}}{8} + \frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{4} + \frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}}{4}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      xlog⁡(3x)34=xlog⁡(x)34+3xlog⁡(3)log⁡(x)24+3xlog⁡(3)2log⁡(x)4+xlog⁡(3)34x \frac{\log{\left(3 x \right)}^{3}}{4} = \frac{x \log{\left(x \right)}^{3}}{4} + \frac{3 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{3 x \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{4} + \frac{x \log{\left(3 \right)}^{3}}{4}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(x)34 dx=∫xlog⁡(x)3 dx4\int \frac{x \log{\left(x \right)}^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x \log{\left(x \right)}^{3}\, dx}{4}

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫u3e2u du\int u^{3} e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u3u{\left(u \right)} = u^{3} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=3u2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u^{2}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=3u22u{\left(u \right)} = \frac{3 u^{2}}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=3u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 3 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=3u2u{\left(u \right)} = \frac{3 u}{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=32\operatorname{du}{\left(u \right)} = \frac{3}{2}.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          4. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫3e2u4 du=3∫e2u du4\int \frac{3 e^{2 u}}{4}\, du = \frac{3 \int e^{2 u}\, du}{4}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: 3e2u8\frac{3 e^{2 u}}{8}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)32−3x2log⁡(x)24+3x2log⁡(x)4−3x28\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{2} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{4} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 x^{2}}{8}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)38−3x2log⁡(x)216+3x2log⁡(x)16−3x232\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{16} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{16} - \frac{3 x^{2}}{32}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xlog⁡(3)log⁡(x)24 dx=3log⁡(3)∫xlog⁡(x)2 dx4\int \frac{3 x \log{\left(3 \right)} \log{\left(x \right)}^{2}}{4}\, dx = \frac{3 \log{\left(3 \right)} \int x \log{\left(x \right)}^{2}\, dx}{4}

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫u2e2u du\int u^{2} e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24)log⁡(3)4\frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xlog⁡(3)2log⁡(x)4 dx=3log⁡(3)2∫xlog⁡(x) dx4\int \frac{3 x \log{\left(3 \right)}^{2} \log{\left(x \right)}}{4}\, dx = \frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2} \int x \log{\left(x \right)}\, dx}{4}

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3(x2log⁡(x)2−x24)log⁡(3)24\frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫xlog⁡(3)34 dx=log⁡(3)3∫x dx4\int \frac{x \log{\left(3 \right)}^{3}}{4}\, dx = \frac{\log{\left(3 \right)}^{3} \int x\, dx}{4}

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(3)38\frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}^{3}}{8}

      El resultado es: x2log⁡(x)38−3x2log⁡(x)216+3x2log⁡(x)16−3x232+x2log⁡(3)38+3(x2log⁡(x)2−x24)log⁡(3)24+3(x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24)log⁡(3)4\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{16} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{16} - \frac{3 x^{2}}{32} + \frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}^{3}}{8} + \frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{4} + \frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}}{4}

  2. Ahora simplificar:

    x2(6(2log⁡(x)−1)log⁡(3)2+(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)log⁡(729)+4log⁡(x)3−6log⁡(x)2+6log⁡(x)−3+4log⁡(3)3)32\frac{x^{2} \left(6 \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(3 \right)}^{2} + \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(729 \right)} + 4 \log{\left(x \right)}^{3} - 6 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 3 + 4 \log{\left(3 \right)}^{3}\right)}{32}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(6(2log⁡(x)−1)log⁡(3)2+(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)log⁡(729)+4log⁡(x)3−6log⁡(x)2+6log⁡(x)−3+4log⁡(3)3)32+constant\frac{x^{2} \left(6 \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(3 \right)}^{2} + \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(729 \right)} + 4 \log{\left(x \right)}^{3} - 6 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 3 + 4 \log{\left(3 \right)}^{3}\right)}{32}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(6(2log⁡(x)−1)log⁡(3)2+(2log⁡(x)2−2log⁡(x)+1)log⁡(729)+4log⁡(x)3−6log⁡(x)2+6log⁡(x)−3+4log⁡(3)3)32+constant\frac{x^{2} \left(6 \left(2 \log{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(3 \right)}^{2} + \left(2 \log{\left(x \right)}^{2} - 2 \log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(729 \right)} + 4 \log{\left(x \right)}^{3} - 6 \log{\left(x \right)}^{2} + 6 \log{\left(x \right)} - 3 + 4 \log{\left(3 \right)}^{3}\right)}{32}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                               /   2    2       \     / 2    2    2       2       \                     
 |                                                                           2    |  x    x *log(x)|     |x    x *log (x)   x *log(x)|                     
 |    3                    2      2    2       2    3       2    3      3*log (3)*|- -- + ---------|   3*|-- + ---------- - ---------|*log(3)      2       
 | log (3*x)            3*x    3*x *log (x)   x *log (3)   x *log (x)             \  4        2    /     \4        2            2    /          3*x *log(x)
 | ---------*x dx = C - ---- - ------------ + ---------- + ---------- + ---------------------------- + -------------------------------------- + -----------
 |     4                 32         16            8            8                     4                                   4                           16    
 |                                                                                                                                                         
/
∫xlog⁡(3x)34 dx=C+x2log⁡(x)38−3x2log⁡(x)216+3x2log⁡(x)16−3x232+x2log⁡(3)38+3(x2log⁡(x)2−x24)log⁡(3)24+3(x2log⁡(x)22−x2log⁡(x)2+x24)log⁡(3)4\int x \frac{\log{\left(3 x \right)}^{3}}{4}\, dx = C + \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{3}}{8} - \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{16} + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{16} - \frac{3 x^{2}}{32} + \frac{x^{2} \log{\left(3 \right)}^{3}}{8} + \frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}^{2}}{4} + \frac{3 \left(\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}^{2}}{2} - \frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} + \frac{x^{2}}{4}\right) \log{\left(3 \right)}}{4}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.5-0.5
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
            2         3              
  3    3*log (3)   log (3)   3*log(3)
- -- - --------- + ------- + --------
  32       16         8         16
−3log⁡(3)216−332+log⁡(3)38+3log⁡(3)16- \frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2}}{16} - \frac{3}{32} + \frac{\log{\left(3 \right)}^{3}}{8} + \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{16} 
=
= 
            2         3              
  3    3*log (3)   log (3)   3*log(3)
- -- - --------- + ------- + --------
  32       16         8         16
−3log⁡(3)216−332+log⁡(3)38+3log⁡(3)16- \frac{3 \log{\left(3 \right)}^{2}}{16} - \frac{3}{32} + \frac{\log{\left(3 \right)}^{3}}{8} + \frac{3 \log{\left(3 \right)}}{16} 
-3/32 - 3*log(3)^2/16 + log(3)^3/8 + 3*log(3)/16
Respuesta numérica [src] 
0.0516829939908999
0.0516829939908999

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

    © Sr Examen – Калькулятор