Integral de (2+i)/(i*z+1)^3 dz

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{2 + i}{\left(i z + 1\right)^{3}}\, dz = \left(2 + i\right) \int \frac{1}{\left(i z + 1\right)^{3}}\, dz$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(i z + 1\right)^{3}} = \frac{i}{\left(z - i\right)^{3}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{i}{\left(z - i\right)^{3}}\, dz = i \int \frac{1}{\left(z - i\right)^{3}}\, dz$

         1. que $u = z - i$.

            Luego que $du = dz$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(z - i\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{i}{2 \left(z - i\right)^{2}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(i z + 1\right)^{3}} = - \frac{1}{i z^{3} + 3 z^{2} - 3 i z - 1}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{i z^{3} + 3 z^{2} - 3 i z - 1}\right)\, dz = - \int \frac{1}{i z^{3} + 3 z^{2} - 3 i z - 1}\, dz$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{i z^{3} + 3 z^{2} - 3 i z - 1} = - \frac{i}{\left(z - i\right)^{3}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{i}{\left(z - i\right)^{3}}\right)\, dz = - i \int \frac{1}{\left(z - i\right)^{3}}\, dz$

            1. que $u = z - i$.

               Luego que $du = dz$ y ponemos $du$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{1}{2 \left(z - i\right)^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{i}{2 \left(z - i\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{i}{2 \left(z - i\right)^{2}}$

      Método #3

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(i z + 1\right)^{3}} = \frac{1}{- i z^{3} - 3 z^{2} + 3 i z + 1}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{- i z^{3} - 3 z^{2} + 3 i z + 1} = \frac{i}{\left(z - i\right)^{3}}$

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{i}{\left(z - i\right)^{3}}\, dz = i \int \frac{1}{\left(z - i\right)^{3}}\, dz$

         1. que $u = z - i$.

            Luego que $du = dz$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{2 \left(z - i\right)^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{i}{2 \left(z - i\right)^{2}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{i \left(2 + i\right)}{2 \left(z - i\right)^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{i \left(2 + i\right)}{2 \left(z - i\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{i \left(2 + i\right)}{2 \left(z - i\right)^{2}}+ \mathrm{constant}$