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Resolución de integrales/ x^2-4/ -4x+5/ 3x-6/(√x^2-4x+5)

Integral de 3x-6/(√x^2-4x+5) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                            
  /                            
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 |  /             6        \   
 |  |3*x - ----------------| dx
 |  |           2          |   
 |  |        ___           |   
 |  \      \/ x   - 4*x + 5/   
 |                             
/                              
0
∫01(3x−6((x)2−4x)+5) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x - \frac{6}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5}\right)\, dx 
Integral(3*x - 6/((sqrt(x))^2 - 4*x + 5), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫3x dx=3∫x dx\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x22\frac{3 x^{2}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−6((x)2−4x)+5) dx=−6∫1((x)2−4x)+5 dx\int \left(- \frac{6}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5}\right)\, dx = - 6 \int \frac{1}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5}\, dx

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

        Método #1

        1. que u=((x)2−4x)+5u = \left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5.

          Luego que du=(−4+xx)dxdu = \left(-4 + \frac{x}{x}\right) dx y ponemos −du3- \frac{du}{3}:

          ∫(−13u) du\int \left(- \frac{1}{3 u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫1u du=−∫1u du3\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

            1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

            Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(u)3- \frac{\log{\left(u \right)}}{3}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −log⁡(((x)2−4x)+5)3- \frac{\log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5 \right)}}{3}

        Método #2

        1. Vuelva a escribir el integrando:

          1((x)2−4x)+5=−13x−5\frac{1}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5} = - \frac{1}{3 x - 5}

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−13x−5) dx=−∫13x−5 dx\int \left(- \frac{1}{3 x - 5}\right)\, dx = - \int \frac{1}{3 x - 5}\, dx

          1. que u=3x−5u = 3 x - 5.

            Luego que du=3dxdu = 3 dx y ponemos du3\frac{du}{3}:

            ∫13u du\int \frac{1}{3 u}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫1u du=∫1u du3\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{3}

              1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

              Por lo tanto, el resultado es: log⁡(u)3\frac{\log{\left(u \right)}}{3}

            Si ahora sustituir uu más en:

            log⁡(3x−5)3\frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(3x−5)3- \frac{\log{\left(3 x - 5 \right)}}{3}

      Por lo tanto, el resultado es: 2log⁡(((x)2−4x)+5)2 \log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5 \right)}

    El resultado es: 3x22+2log⁡(((x)2−4x)+5)\frac{3 x^{2}}{2} + 2 \log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    3x22+2log⁡(5−3x)\frac{3 x^{2}}{2} + 2 \log{\left(5 - 3 x \right)}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x22+2log⁡(5−3x)+constant\frac{3 x^{2}}{2} + 2 \log{\left(5 - 3 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x22+2log⁡(5−3x)+constant\frac{3 x^{2}}{2} + 2 \log{\left(5 - 3 x \right)}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                
 |                                        /     2          \      2
 | /             6        \               |  ___           |   3*x 
 | |3*x - ----------------| dx = C + 2*log\\/ x   - 4*x + 5/ + ----
 | |           2          |                                     2  
 | |        ___           |                                        
 | \      \/ x   - 4*x + 5/                                        
 |                                                                 
/
∫(3x−6((x)2−4x)+5) dx=C+3x22+2log⁡(((x)2−4x)+5)\int \left(3 x - \frac{6}{\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5}\right)\, dx = C + \frac{3 x^{2}}{2} + 2 \log{\left(\left(\left(\sqrt{x}\right)^{2} - 4 x\right) + 5 \right)}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
3/2 - 2*log(5) + 2*log(2)
−2log⁡(5)+2log⁡(2)+32- 2 \log{\left(5 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{3}{2} 
=
= 
3/2 - 2*log(5) + 2*log(2)
−2log⁡(5)+2log⁡(2)+32- 2 \log{\left(5 \right)} + 2 \log{\left(2 \right)} + \frac{3}{2} 
3/2 - 2*log(5) + 2*log(2)
Respuesta numérica [src] 
-0.33258146374831
-0.33258146374831

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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