Integral de sin(x^(1/3)) dx

1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

   Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $3 du$:

   $\int 3 u^{2} \sin{\left(u \right)}\, du$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int u^{2} \sin{\left(u \right)}\, du = 3 \int u^{2} \sin{\left(u \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = - 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = -2$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. La integral del coseno es seno:

            $\int \cos{\left(u \right)}\, du = \sin{\left(u \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 \sin{\left(u \right)}\right)\, du = - 2 \int \sin{\left(u \right)}\, du$

         1. La integral del seno es un coseno menos:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \cos{\left(u \right)}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u^{2} \cos{\left(u \right)} + 6 u \sin{\left(u \right)} + 6 \cos{\left(u \right)}$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 x^{\frac{2}{3}} \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \sqrt[3]{x} \sin{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + 6 \cos{\left(\sqrt[3]{x} \right)}+ \mathrm{constant}$