Integral de x*(3-x)^9 dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $x \left(3 - x\right)^{9} = - x^{10} + 27 x^{9} - 324 x^{8} + 2268 x^{7} - 10206 x^{6} + 30618 x^{5} - 61236 x^{4} + 78732 x^{3} - 59049 x^{2} + 19683 x$

2. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x^{10}\right)\, dx = - \int x^{10}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{11}}{11}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 27 x^{9}\, dx = 27 \int x^{9}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 x^{10}}{10}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 324 x^{8}\right)\, dx = - 324 \int x^{8}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 36 x^{9}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 2268 x^{7}\, dx = 2268 \int x^{7}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{567 x^{8}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 10206 x^{6}\right)\, dx = - 10206 \int x^{6}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 1458 x^{7}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 30618 x^{5}\, dx = 30618 \int x^{5}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $5103 x^{6}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 61236 x^{4}\right)\, dx = - 61236 \int x^{4}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{61236 x^{5}}{5}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 78732 x^{3}\, dx = 78732 \int x^{3}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

      Por lo tanto, el resultado es: $19683 x^{4}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 59049 x^{2}\right)\, dx = - 59049 \int x^{2}\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 19683 x^{3}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 19683 x\, dx = 19683 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{19683 x^{2}}{2}$

   El resultado es: $- \frac{x^{11}}{11} + \frac{27 x^{10}}{10} - 36 x^{9} + \frac{567 x^{8}}{2} - 1458 x^{7} + 5103 x^{6} - \frac{61236 x^{5}}{5} + 19683 x^{4} - 19683 x^{3} + \frac{19683 x^{2}}{2}$

3. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(- 10 x^{9} + 297 x^{8} - 3960 x^{7} + 31185 x^{6} - 160380 x^{5} + 561330 x^{4} - 1347192 x^{3} + 2165130 x^{2} - 2165130 x + 1082565\right)}{110}$

4. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(- 10 x^{9} + 297 x^{8} - 3960 x^{7} + 31185 x^{6} - 160380 x^{5} + 561330 x^{4} - 1347192 x^{3} + 2165130 x^{2} - 2165130 x + 1082565\right)}{110}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(- 10 x^{9} + 297 x^{8} - 3960 x^{7} + 31185 x^{6} - 160380 x^{5} + 561330 x^{4} - 1347192 x^{3} + 2165130 x^{2} - 2165130 x + 1082565\right)}{110}+ \mathrm{constant}$