Sr Examen

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Resolución de integrales/ e^(4x)/ (3x+4)/ (3x+4)e^(4x)

Integral de (3x+4)e^(4x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0                  
  /                  
 |                   
 |             4*x   
 |  (3*x + 4)*E    dx
 |                   
/                    
-oo
∫−∞0e4x(3x+4) dx\int\limits_{-\infty}^{0} e^{4 x} \left(3 x + 4\right)\, dx 
Integral((3*x + 4)*E^(4*x), (x, -oo, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e4x(3x+4)=3xe4x+4e4xe^{4 x} \left(3 x + 4\right) = 3 x e^{4 x} + 4 e^{4 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe4x dx=3∫xe4x dx\int 3 x e^{4 x}\, dx = 3 \int x e^{4 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e4x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e4x4 dx=∫e4x dx4\int \frac{e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4x16\frac{e^{4 x}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xe4x4−3e4x16\frac{3 x e^{4 x}}{4} - \frac{3 e^{4 x}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e4x dx=4∫e4x dx\int 4 e^{4 x}\, dx = 4 \int e^{4 x}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: e4xe^{4 x}

      El resultado es: 3xe4x4+13e4x16\frac{3 x e^{4 x}}{4} + \frac{13 e^{4 x}}{16}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e4x(3x+4)=3xe4x+4e4xe^{4 x} \left(3 x + 4\right) = 3 x e^{4 x} + 4 e^{4 x}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3xe4x dx=3∫xe4x dx\int 3 x e^{4 x}\, dx = 3 \int x e^{4 x}\, dx

        1. Usamos la integración por partes:

          ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

          que u(x)=xu{\left(x \right)} = x y que dv⁡(x)=e4x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{4 x}.

          Entonces du⁡(x)=1\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1.

          Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

          Ahora resolvemos podintegral.

        2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫e4x4 dx=∫e4x dx4\int \frac{e^{4 x}}{4}\, dx = \frac{\int e^{4 x}\, dx}{4}

          1. que u=4xu = 4 x.

            Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

            ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              False\text{False}

              1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

              Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

            Si ahora sustituir uu más en:

            e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: e4x16\frac{e^{4 x}}{16}

        Por lo tanto, el resultado es: 3xe4x4−3e4x16\frac{3 x e^{4 x}}{4} - \frac{3 e^{4 x}}{16}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫4e4x dx=4∫e4x dx\int 4 e^{4 x}\, dx = 4 \int e^{4 x}\, dx

        1. que u=4xu = 4 x.

          Luego que du=4dxdu = 4 dx y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4x4\frac{e^{4 x}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: e4xe^{4 x}

      El resultado es: 3xe4x4+13e4x16\frac{3 x e^{4 x}}{4} + \frac{13 e^{4 x}}{16}

  2. Ahora simplificar:

    (12x+13)e4x16\frac{\left(12 x + 13\right) e^{4 x}}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    (12x+13)e4x16+constant\frac{\left(12 x + 13\right) e^{4 x}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(12x+13)e4x16+constant\frac{\left(12 x + 13\right) e^{4 x}}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                             4*x        4*x
 |            4*x          13*e      3*x*e   
 | (3*x + 4)*E    dx = C + ------- + --------
 |                            16        4    
/
∫e4x(3x+4) dx=C+3xe4x4+13e4x16\int e^{4 x} \left(3 x + 4\right)\, dx = C + \frac{3 x e^{4 x}}{4} + \frac{13 e^{4 x}}{16}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.9005
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
13
--
16
1316\frac{13}{16} 
=
= 
13
--
16
1316\frac{13}{16} 
13/16

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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