Integral de x*ln(1+4x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$.

      Luego que $du = \frac{8 x dx}{4 x^{2} + 1}$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{u e^{u}}{8}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u e^{u}\, du = \frac{\int u e^{u}\, du}{8}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u e^{u}}{8} - \frac{e^{u}}{8}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(4 x^{2} + 1\right) \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8} - \frac{1}{8}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 x^{3}}{4 x^{2} + 1}\, dx = 4 \int \frac{x^{3}}{4 x^{2} + 1}\, dx$

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u}{8 u + 2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u}{8 u + 2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{8 \left(4 u + 1\right)}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{8}\, du = \frac{u}{8}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{1}{8 \left(4 u + 1\right)}\right)\, du = - \frac{\int \frac{1}{4 u + 1}\, du}{8}$

               1. que $u = 4 u + 1$.

                  Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

                  $\int \frac{1}{4 u}\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{u}\, du = \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

                     1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                     Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $\frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{32}$

            El resultado es: $\frac{u}{8} - \frac{\log{\left(4 u + 1 \right)}}{32}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{2}}{8} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{32}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{2} - \frac{\log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(4 x^{2} + 1\right) \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8} - \frac{1}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{2} + \frac{\left(4 x^{2} + 1\right) \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{8} - \frac{1}{8}+ \mathrm{constant}$