Integral de ln(1+4x^2) dx

1. Usamos la integración por partes:

   $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

   que $u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

   Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{8 x}{4 x^{2} + 1}$.

   Para buscar $v{\left(x \right)}$:

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   Ahora resolvemos podintegral.

2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{8 x^{2}}{4 x^{2} + 1}\, dx = 8 \int \frac{x^{2}}{4 x^{2} + 1}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{4 x^{2} + 1} = \frac{1}{4} - \frac{1}{4 \left(4 x^{2} + 1\right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \frac{1}{4}\, dx = \frac{x}{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{4 \left(4 x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{4 x^{2} + 1}\, dx}{4}$

         PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=4, c=1, context=1/(4*x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=4, c=1, context=1/(4*x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=4, c=1, context=1/(4*x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(4*x**2 + 1), symbol=x)

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8}$

      El resultado es: $\frac{x}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}}{8}$

   Por lo tanto, el resultado es: $2 x - \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - 2 x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \log{\left(4 x^{2} + 1 \right)} - 2 x + \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}+ \mathrm{constant}$