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Resolución de integrales/ ln(1+tanx)

Integral de ln(1+tanx) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 pi                   
 --                   
 4                    
  /                   
 |                    
 |  log(1 + tan(x)) dx
 |                    
/                     
0
∫0π4log⁡(tan⁡(x)+1) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)}\, dx 
Integral(log(1 + tan(x)), (x, 0, pi/4))
Solución detallada

  1. Usamos la integración por partes:

    ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

    que u(x)=log⁡(tan⁡(x)+1)u{\left(x \right)} = \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)} y que dv⁡(x)=1\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1.

    Entonces du⁡(x)=tan⁡2(x)+1tan⁡(x)+1\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{\tan^{2}{\left(x \right)} + 1}{\tan{\left(x \right)} + 1}.

    Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    Ahora resolvemos podintegral.

  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+1=xtan⁡2(x)+xtan⁡(x)+1\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} + 1} = \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x}{\tan{\left(x \right)} + 1}

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      xtan⁡2(x)+xtan⁡(x)+1=xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1+xtan⁡(x)+1\frac{x \tan^{2}{\left(x \right)} + x}{\tan{\left(x \right)} + 1} = \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1} + \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}

    3. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1 dx\int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫xtan⁡(x)+1 dx\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx

      El resultado es: ∫xtan⁡(x)+1 dx+∫xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1 dx\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx + \int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)+1=xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1+xtan⁡(x)+1\frac{x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{\tan{\left(x \right)} + 1} = \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1} + \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}

    2. Integramos término a término:

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1 dx\int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx

      1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

        Pero la integral

        ∫xtan⁡(x)+1 dx\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx

      El resultado es: ∫xtan⁡(x)+1 dx+∫xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1 dx\int \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx + \int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx

  3. Añadimos la constante de integración:

    xlog⁡(tan⁡(x)+1)−∫xtan⁡(x)+1 dx−∫xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1 dx+constantx \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx - \int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta:

xlog⁡(tan⁡(x)+1)−∫xtan⁡(x)+1 dx−∫xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1 dx+constantx \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx - \int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                                 /                                 
                              /                 |                                  
  /                          |                  |      2                           
 |                           |     x            | x*tan (x)                        
 | log(1 + tan(x)) dx = C -  | ---------- dx -  | ---------- dx + x*log(1 + tan(x))
 |                           | 1 + tan(x)       | 1 + tan(x)                       
/                            |                  |                                  
                            /                  /
∫log⁡(tan⁡(x)+1) dx=C+xlog⁡(tan⁡(x)+1)−∫xtan⁡(x)+1 dx−∫xtan⁡2(x)tan⁡(x)+1 dx\int \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)}\, dx = C + x \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)} - \int \frac{x}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx - \int \frac{x \tan^{2}{\left(x \right)}}{\tan{\left(x \right)} + 1}\, dx
Simplificar
Respuesta [src] 
 pi                   
 --                   
 4                    
  /                   
 |                    
 |  log(1 + tan(x)) dx
 |                    
/                     
0
∫0π4log⁡(tan⁡(x)+1) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)}\, dx 
=
= 
 pi                   
 --                   
 4                    
  /                   
 |                    
 |  log(1 + tan(x)) dx
 |                    
/                     
0
∫0π4log⁡(tan⁡(x)+1) dx\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \log{\left(\tan{\left(x \right)} + 1 \right)}\, dx 
Integral(log(1 + tan(x)), (x, 0, pi/4))
Respuesta numérica [src] 
0.27219826128795
0.27219826128795

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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