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Resolución de integrales/ (1+x)/ ln(1+x)^(2y)

Integral de ln(1+x)^(2y) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                 
  /                 
 |                  
 |     2*y          
 |  log   (1 + x) dx
 |                  
/                   
0
∫01log⁡(x+1)2y dx\int\limits_{0}^{1} \log{\left(x + 1 \right)}^{2 y}\, dx 
Integral(log(1 + x)^(2*y), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x+1)u = \log{\left(x + 1 \right)}.

    Luego que du=dxx+1du = \frac{dx}{x + 1} y ponemos dudu:

    ∫u2yeu du\int u^{2 y} e^{u}\, du

      UpperGammaRule(a=1, e=2*y, context=_u**(2*y)*exp(_u), symbol=_u)

    Si ahora sustituir uu más en:

    (−log⁡(x+1))−2ylog⁡(x+1)2yΓ(2y+1,−log⁡(x+1))\left(- \log{\left(x + 1 \right)}\right)^{- 2 y} \log{\left(x + 1 \right)}^{2 y} \Gamma\left(2 y + 1, - \log{\left(x + 1 \right)}\right)

  2. Añadimos la constante de integración:

    (−log⁡(x+1))−2ylog⁡(x+1)2yΓ(2y+1,−log⁡(x+1))+constant\left(- \log{\left(x + 1 \right)}\right)^{- 2 y} \log{\left(x + 1 \right)}^{2 y} \Gamma\left(2 y + 1, - \log{\left(x + 1 \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

(−log⁡(x+1))−2ylog⁡(x+1)2yΓ(2y+1,−log⁡(x+1))+constant\left(- \log{\left(x + 1 \right)}\right)^{- 2 y} \log{\left(x + 1 \right)}^{2 y} \Gamma\left(2 y + 1, - \log{\left(x + 1 \right)}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                                                  
 |                                                                                   
 |    2*y                              -2*y    2*y                                   
 | log   (1 + x) dx = C + (-log(1 + x))    *log   (1 + x)*Gamma(1 + 2*y, -log(1 + x))
 |                                                                                   
/
∫log⁡(x+1)2y dx=C+(−log⁡(x+1))−2ylog⁡(x+1)2yΓ(2y+1,−log⁡(x+1))\int \log{\left(x + 1 \right)}^{2 y}\, dx = C + \left(- \log{\left(x + 1 \right)}\right)^{- 2 y} \log{\left(x + 1 \right)}^{2 y} \Gamma\left(2 y + 1, - \log{\left(x + 1 \right)}\right)
Simplificar
Respuesta [src] 
   -2*pi*I*y                              -2*y    2*y                           
- e         *Gamma(1 + 2*y, 0) + (-log(2))    *log   (2)*Gamma(1 + 2*y, -log(2))
−e−2iπyΓ(2y+1,0)+(−log⁡(2))−2ylog⁡(2)2yΓ(2y+1,−log⁡(2))- e^{- 2 i \pi y} \Gamma\left(2 y + 1, 0\right) + \left(- \log{\left(2 \right)}\right)^{- 2 y} \log{\left(2 \right)}^{2 y} \Gamma\left(2 y + 1, - \log{\left(2 \right)}\right) 
=
= 
   -2*pi*I*y                              -2*y    2*y                           
- e         *Gamma(1 + 2*y, 0) + (-log(2))    *log   (2)*Gamma(1 + 2*y, -log(2))
−e−2iπyΓ(2y+1,0)+(−log⁡(2))−2ylog⁡(2)2yΓ(2y+1,−log⁡(2))- e^{- 2 i \pi y} \Gamma\left(2 y + 1, 0\right) + \left(- \log{\left(2 \right)}\right)^{- 2 y} \log{\left(2 \right)}^{2 y} \Gamma\left(2 y + 1, - \log{\left(2 \right)}\right) 
-exp(-2*pi*i*y)*uppergamma(1 + 2*y, 0) + (-log(2))^(-2*y)*log(2)^(2*y)*uppergamma(1 + 2*y, -log(2))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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