Integral de ln2/((1-x)*(ln(1-x))^2) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{\log{\left(2 \right)}}{\left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}^{2}}\, dx = \log{\left(2 \right)} \int \frac{1}{\left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}^{2}}\, dx$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}^{2}} = - \frac{1}{x \log{\left(1 - x \right)}^{2} - \log{\left(1 - x \right)}^{2}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x \log{\left(1 - x \right)}^{2} - \log{\left(1 - x \right)}^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x \log{\left(1 - x \right)}^{2} - \log{\left(1 - x \right)}^{2}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{1}{\log{\left(1 - x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{\log{\left(1 - x \right)}}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{\left(1 - x\right) \log{\left(1 - x \right)}^{2}} = \frac{1}{- x \log{\left(1 - x \right)}^{2} + \log{\left(1 - x \right)}^{2}}$

      2. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{- x \log{\left(1 - x \right)}^{2} + \log{\left(1 - x \right)}^{2}} = - \frac{1}{x \log{\left(1 - x \right)}^{2} - \log{\left(1 - x \right)}^{2}}$

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x \log{\left(1 - x \right)}^{2} - \log{\left(1 - x \right)}^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x \log{\left(1 - x \right)}^{2} - \log{\left(1 - x \right)}^{2}}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{1}{\log{\left(1 - x \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{\log{\left(1 - x \right)}}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(1 - x \right)}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(1 - x \right)}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(2 \right)}}{\log{\left(1 - x \right)}}+ \mathrm{constant}$