Integral de (2x-2)e^(2-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{2 - x} \left(2 x - 2\right) = 2 x e^{2} e^{- x} - 2 e^{2} e^{- x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x e^{2} e^{- x}\, dx = 2 e^{2} \int x e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x e^{- x} - e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{2} e^{- x}\right)\, dx = - 2 e^{2} \int e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{2} e^{- x}$

      El resultado es: $2 \left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2} + 2 e^{2} e^{- x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{2 - x} \left(2 x - 2\right) = 2 x e^{2} e^{- x} - 2 e^{2} e^{- x}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2 x e^{2} e^{- x}\, dx = 2 e^{2} \int x e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- x e^{- x} - e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2 e^{2} e^{- x}\right)\, dx = - 2 e^{2} \int e^{- x}\, dx$

         1. que $u = - x$.

            Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- e^{- x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{2} e^{- x}$

      El resultado es: $2 \left(- x e^{- x} - e^{- x}\right) e^{2} + 2 e^{2} e^{- x}$

2. Ahora simplificar:

   $- 2 x e^{2 - x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 x e^{2 - x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 x e^{2 - x}+ \mathrm{constant}$