Integral de 3x⁸-8/cos²x+3√x+1 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 \sqrt{x}\, dx = 3 \int \sqrt{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt{x}\, dx = \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2 x^{\frac{3}{2}}$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x^{8}\, dx = 3 \int x^{8}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{9}}{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{8}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx = - 8 \int \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\, dx$

            1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

               Pero la integral

               $\frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

         El resultado es: $\frac{x^{9}}{3} - \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

      El resultado es: $2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{9}}{3} - \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      $\int 1\, dx = x$

   El resultado es: $2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{9}}{3} + x - \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{9}}{3} + x - 8 \tan{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{9}}{3} + x - 8 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{9}}{3} + x - 8 \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$