Integral de (8x-4)³dx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 8 x - 4$.

      Luego que $du = 8 dx$ y ponemos $\frac{du}{8}$:

      $\int \frac{u^{3}}{8}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{3}\, du = \frac{\int u^{3}\, du}{8}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{4}}{32}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(8 x - 4\right)^{4}}{32}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(8 x - 4\right)^{3} = 512 x^{3} - 768 x^{2} + 384 x - 64$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 512 x^{3}\, dx = 512 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $128 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 768 x^{2}\right)\, dx = - 768 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 256 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 384 x\, dx = 384 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $192 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-64\right)\, dx = - 64 x$

      El resultado es: $128 x^{4} - 256 x^{3} + 192 x^{2} - 64 x$

2. Ahora simplificar:

   $8 \left(2 x - 1\right)^{4}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $8 \left(2 x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$8 \left(2 x - 1\right)^{4}+ \mathrm{constant}$