Integral de (1-lnx)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \left(u - 1\right) e^{- u}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(u - 1\right) e^{- u}\, du = - \int \left(u - 1\right) e^{- u}\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u e^{u} + e^{u}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               El resultado es: $u e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- u e^{- u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $u e^{- u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\log{\left(x \right)}}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(x \right)} - 1}{x^{2}}\, dx$

      1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

         $\int \left(u - 1\right) e^{- u}\, du$

         1. que $u = - u$.

            Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

            $\int \left(u e^{u} + e^{u}\right)\, du$

            1. Integramos término a término:

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               El resultado es: $u e^{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- u e^{- u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(x \right)}}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1 - \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$

         1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

            $\int u e^{- u}\, du$

            1. que $u = - u$.

               Luego que $du = - du$ y ponemos $du$:

               $\int u e^{u}\, du$

               1. Usamos la integración por partes:

                  $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

                  que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

                  Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

                  Para buscar $v{\left(u \right)}$:

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Ahora resolvemos podintegral.

               2. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- u e^{- u} - e^{- u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $\frac{\log{\left(x \right)}}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\log{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(x \right)}}{x}+ \mathrm{constant}$