Sr Examen

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Integral de 4/(9-4x^2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |     4       
 |  -------- dx
 |         2   
 |  9 - 4*x    
 |             
/              
0              
01494x2dx\int\limits_{0}^{1} \frac{4}{9 - 4 x^{2}}\, dx
Integral(4/(9 - 4*x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

    494x2dx=4194x2dx\int \frac{4}{9 - 4 x^{2}}\, dx = 4 \int \frac{1}{9 - 4 x^{2}}\, dx

      PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=-4, c=9, context=1/(9 - 4*x**2), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=-4, c=9, context=1/(9 - 4*x**2), symbol=x), x**2 > 9/4), (ArctanhRule(a=1, b=-4, c=9, context=1/(9 - 4*x**2), symbol=x), x**2 < 9/4)], context=1/(9 - 4*x**2), symbol=x)

    Por lo tanto, el resultado es: 4({acoth(2x3)6forx2>94atanh(2x3)6forx2<94)4 \left(\begin{cases} \frac{\operatorname{acoth}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{9}{4} \\\frac{\operatorname{atanh}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{9}{4} \end{cases}\right)

  2. Ahora simplificar:

    {2acoth(2x3)3forx2>942atanh(2x3)3forx2<94\begin{cases} \frac{2 \operatorname{acoth}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{9}{4} \\\frac{2 \operatorname{atanh}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{9}{4} \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {2acoth(2x3)3forx2>942atanh(2x3)3forx2<94+constant\begin{cases} \frac{2 \operatorname{acoth}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{9}{4} \\\frac{2 \operatorname{atanh}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{9}{4} \end{cases}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

{2acoth(2x3)3forx2>942atanh(2x3)3forx2<94+constant\begin{cases} \frac{2 \operatorname{acoth}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} > \frac{9}{4} \\\frac{2 \operatorname{atanh}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{3} & \text{for}\: x^{2} < \frac{9}{4} \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
                       //     /2*x\              \
                       ||acoth|---|              |
  /                    ||     \ 3 /       2      |
 |                     ||----------  for x  > 9/4|
 |    4                ||    6                   |
 | -------- dx = C + 4*|<                        |
 |        2            ||     /2*x\              |
 | 9 - 4*x             ||atanh|---|              |
 |                     ||     \ 3 /       2      |
/                      ||----------  for x  < 9/4|
                       \\    6                   /
494x2dx=C+4({acoth(2x3)6forx2>94atanh(2x3)6forx2<94)\int \frac{4}{9 - 4 x^{2}}\, dx = C + 4 \left(\begin{cases} \frac{\operatorname{acoth}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} > \frac{9}{4} \\\frac{\operatorname{atanh}{\left(\frac{2 x}{3} \right)}}{6} & \text{for}\: x^{2} < \frac{9}{4} \end{cases}\right)
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.01.0
Respuesta [src]
log(2)   log(5/2)
------ + --------
  3         3    
log(2)3+log(52)3\frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\frac{5}{2} \right)}}{3}
=
=
log(2)   log(5/2)
------ + --------
  3         3    
log(2)3+log(52)3\frac{\log{\left(2 \right)}}{3} + \frac{\log{\left(\frac{5}{2} \right)}}{3}
log(2)/3 + log(5/2)/3
Respuesta numérica [src]
0.5364793041447
0.5364793041447

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.