Integral de (3x+4)^10 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 3 x + 4$.

      Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{u^{10}}{3}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{11}}{33}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(3 x + 4\right)^{11}}{33}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(3 x + 4\right)^{10} = 59049 x^{10} + 787320 x^{9} + 4723920 x^{8} + 16796160 x^{7} + 39191040 x^{6} + 62705664 x^{5} + 69672960 x^{4} + 53084160 x^{3} + 26542080 x^{2} + 7864320 x + 1048576$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 59049 x^{10}\, dx = 59049 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{59049 x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 787320 x^{9}\, dx = 787320 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $78732 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4723920 x^{8}\, dx = 4723920 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $524880 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 16796160 x^{7}\, dx = 16796160 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $2099520 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 39191040 x^{6}\, dx = 39191040 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $5598720 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 62705664 x^{5}\, dx = 62705664 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $10450944 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 69672960 x^{4}\, dx = 69672960 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $13934592 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 53084160 x^{3}\, dx = 53084160 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $13271040 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 26542080 x^{2}\, dx = 26542080 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8847360 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7864320 x\, dx = 7864320 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3932160 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1048576\, dx = 1048576 x$

      El resultado es: $\frac{59049 x^{11}}{11} + 78732 x^{10} + 524880 x^{9} + 2099520 x^{8} + 5598720 x^{7} + 10450944 x^{6} + 13934592 x^{5} + 13271040 x^{4} + 8847360 x^{3} + 3932160 x^{2} + 1048576 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(3 x + 4\right)^{11}}{33}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(3 x + 4\right)^{11}}{33}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(3 x + 4\right)^{11}}{33}+ \mathrm{constant}$