Integral de (∛x-2∜x/x+3)/x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{3 u^{\frac{13}{4}} + 9 u^{\frac{9}{4}} - 6}{u^{\frac{13}{4}}}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{3 u^{\frac{13}{4}} + 9 u^{\frac{9}{4}} - 6}{u^{\frac{13}{4}}} = 3 + \frac{9}{u} - \frac{6}{u^{\frac{13}{4}}}$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 3\, du = 3 u$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{9}{u}\, du = 9 \int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $9 \log{\left(u \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{6}{u^{\frac{13}{4}}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{\frac{13}{4}}}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{13}{4}}}\, du = - \frac{4}{9 u^{\frac{9}{4}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{3 u^{\frac{9}{4}}}$

         El resultado es: $3 u + 9 \log{\left(u \right)} + \frac{8}{3 u^{\frac{9}{4}}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \sqrt[3]{x} + 9 \log{\left(\sqrt[3]{x} \right)} + \frac{8}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- \frac{2 \sqrt[4]{x}}{x} + \sqrt[3]{x}\right) + 3}{x} = \frac{x^{\frac{13}{12}} + 3 x^{\frac{3}{4}} - 2}{x^{\frac{7}{4}}}$

   2. que $u = x^{\frac{3}{4}}$.

      Luego que $du = \frac{3 dx}{4 \sqrt[4]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{4 u^{\frac{13}{9}} + 12 u - 8}{3 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 u^{\frac{13}{9}} + 12 u - 8}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{4 u^{\frac{13}{9}} + 12 u - 8}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{4 u^{\frac{13}{9}} + 12 u - 8}{u^{2}} = \frac{12}{u} - \frac{8}{u^{2}} + \frac{4}{u^{\frac{5}{9}}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{12}{u}\, du = 12 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $12 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{8}{u^{2}}\right)\, du = - 8 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{u}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{u^{\frac{5}{9}}}\, du = 4 \int \frac{1}{u^{\frac{5}{9}}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{5}{9}}}\, du = \frac{9 u^{\frac{4}{9}}}{4}$

               Por lo tanto, el resultado es: $9 u^{\frac{4}{9}}$

            El resultado es: $9 u^{\frac{4}{9}} + 12 \log{\left(u \right)} + \frac{8}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{\frac{4}{9}} + 4 \log{\left(u \right)} + \frac{8}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $3 \sqrt[3]{x} + 4 \log{\left(x^{\frac{3}{4}} \right)} + \frac{8}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(- \frac{2 \sqrt[4]{x}}{x} + \sqrt[3]{x}\right) + 3}{x} = \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{2}{x^{\frac{7}{4}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3}{x}\, dx = 3 \int \frac{1}{x}\, dx$

         1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

         Por lo tanto, el resultado es: $3 \log{\left(x \right)}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{2}{x^{\frac{7}{4}}}\right)\, dx = - 2 \int \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{7}{4}}}\, dx = - \frac{4}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

      El resultado es: $3 \sqrt[3]{x} + 3 \log{\left(x \right)} + \frac{8}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

2. Ahora simplificar:

   $3 \sqrt[3]{x} + 3 \log{\left(x \right)} + \frac{8}{3 x^{\frac{3}{4}}}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $3 \sqrt[3]{x} + 3 \log{\left(x \right)} + \frac{8}{3 x^{\frac{3}{4}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$3 \sqrt[3]{x} + 3 \log{\left(x \right)} + \frac{8}{3 x^{\frac{3}{4}}}+ \mathrm{constant}$